Reeks (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k <math> met AWB |
|||
Regel 6:
De eventuele uitkomst <math>S</math> van de [[sommatie]] wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus <math>S = a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>.
Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term ''reeks'' gebruikt, bijvoorbeeld ''rekenkundige reeks'' bij de [[
Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.<ref>In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.</ref>
== Definitie ==
Regel 33:
Een reeks heet ''[[convergentie (wiskunde)|convergent]]'' als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet <math>S</math>. In dat geval noemt men <math>S</math> de ''som'' van de reeks:
:<math>S =\sum_{n=1}^{\infty} a_n =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n
Als de rij der partieelsommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen <math>a_n</math> convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.
Regel 40:
We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.
Een reeks heet [[absoluut convergent]] als de [[absolute waarde]]n van de termen <math>a_i
In formulevorm: de reeks <math>\sum_{i=1}^\infty a_i</math> heet absoluut convergent als de reeks <math>\sum_{i=1}^\infty |a_i|</math> een convergente reeks is.
Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente
Regel 55:
:<math> s_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n, |a| < 1 </math>
:<math> as_n = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{n+1} </math>
:<math> s_n - as_n = 1 - a^{n+1}
:<math> s_n ( 1 - a ) = 1 - a^{n+1}
:<math> s_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}
:<math>S=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} = \frac{1}{1-a}</math> .
Regel 109:
\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\left(2n+1\right)^2}= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}
</math>
Van [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]] zijn de reeksen:
| |||