Rand (topologie): verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Addbot (overleg | bijdragen)
k Robot: Verplaatsing van 19 interwikilinks. Deze staan nu op Wikidata onder d:q875399
k <math> met AWB
Regel 2:
 
==Definitie==
Zij <math>(X,\mathcal{T})</math> een [[topologische ruimte]] en zij ''A'' een [[deelverzameling]] van ''X''. De rand van ''A'', genoteerd <math>\delta(A)\!</math>, bestaat uit de punten van ''X'' die willekeurig dicht benaderd worden zowel door punten van ''A'' als door punten van haar [[complement (verzamelingenleer)|complement]] ''A<sup>c</sup>''. Dit wil zeggen dat een punt ''p'' tot de rand van ''A'' behoort als elke willekeurig kleine [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van ''p'' zowel ''A'' als ''A<sup>c</sup>'' [[doorsnede (verzamelingenleer)|snijdt]].
 
:<math>\delta(A)=\{p\in X|\forall V\in\mathcal{V}(p):V\cap A\neq\emptyset\and V\setminus A\neq\emptyset\}</math>
Regel 14:
Op de [[reëel getal|reële getallenas]] met zijn gewone topologie bestaat de rand van een eindig [[interval (wiskunde)|interval]] met positieve lengte uit het paar van de twee randpunten, ongeacht of het een gesloten, halfopen of open interval betreft.
 
:<math>\delta[a,b]=\delta(a,b)=\delta(a,b]=\delta[a,b)=\{a,b\}\!</math>
 
Op diezelfde getallenas bestaat de rand van verzameling der [[rationaal getal|rationale getallen]] (breuken) uit de hele reële as, want elk reëel getal kan geschreven worden als een limiet van breuken, maar ook als een limiet van irrationale getallen.
Regel 43:
De rand van ''A'' is een gesloten verzameling van ''X.''
 
Een willekeurige deelverzameling van ''X'' is gesloten als en slechts als ze haar eigen rand bevat. Een willekeurige deelverzameling van ''X'' is open als en slechts als ze disjunct is met haar eigen rand. Hieruit volgt dat de [[relatie (wiskunde)|relatie]] <math>\delta\!</math> "heeft als rand" op de [[machtsverzameling]] 2<sup>''X''</sup> volledig de topologie van ''X'' vastlegt.
 
De rand van een gesloten verzameling heeft leeg inwendige.
Regel 54:
 
De rand van de rand van ''A'' heeft een leeg inwendige, zodat hij op zijn beurt gelijk is aan zijn eigen rand:
:<math>\delta(\delta(\delta(A)))=\delta(\delta(A))\!</math>
 
==Afhankelijkheid van ''X''==