Kansdichtheid: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
k <math> met AWB |
||
Regel 2:
Een '''kansdichtheid''' of '''waarschijnlijkheidsdichtheid''' is een functie waarmee de [[kansverdeling]] van een [[continue stochastische variabele]] beschreven kan worden. Zo'n stochastische variabele <math>X</math> neemt geen enkele individuele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus (op het eerste gezicht paradoxaal) voor alle <math>x</math>:
:<math>P(X=x)=0
Omdat de [[verdelingsfunctie]] <math>F_X</math> van een continue stochastische variabele [[Absolute continuïteit|absoluut continu]] is en dus (bijna overal) differentieerbaar, kunnen we deze vastleggen door z'n [[afgeleide]] <math>f_X</math>, die de kansdichtheid van <math>X</math> genoemd wordt.
:<math>f_X(x) = \frac{\rm d}{{\rm d} x} F_X(x)
De kansdichtheid geeft voor een continue stochastische variabele een goed beeld hoe de totale 'kansmassa' (in totaal 1) verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele.
Met behulp van de kansdichtheid worden kansen bepaald door:
:<math>P(X\in B)=\int_Bf_X(x) {\rm d} x
==Achtergrond==
Regel 20:
:<math>f_X(x)= 1</math> voor <math>x \in (0,1)</math> en 0 elders.
Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen mbv. de kansdichtheid moet er altijd een integraal berekend worden. Zo is de kans dat <math>X</math> een uitkomst kleiner dan 0,5 heeft:
Regel 30 ⟶ 29:
:<math>P(X = 0{,}37)= \int_{0{,}37}^{0{,}37} f(x)\,{\rm d}x = 0</math>
Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid <math>f_X(x)
▲Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid <math>f_X(x)\!</math> van een continue stochastische variabele <math>X</math> is:
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\,{\rm d}x = 1</math>.
Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansdichtheid de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan <math>P(X < +\infty) = 1
{{Navigatie kansrekening}}
| |||