|
Een '''veelhoeksgetal''' is een getal dat het aantal stippen is van een figuur met in een hoekpunt geneste [[regelmatige veelhoek]]en. In de oudheid ontdekte men dat getallen waren weer te geven door een aantal figuurtjes zoals rijstkorrels of zaden te rangschikken in een figuur, dit noemt men [[Figuratief getal|figuratieve getallen]]. De veelhoeksgetallen zijn daar een voorbeeld van. De bekendste soorten veelhoeksgetallen zijn de [[driehoeksgetal]]len en [[kwadraatgetal]]len.
Voor een groter aantal hoeken moet men bedenken dat de veelhoeken één gezamenlijk hoekpunt hebben en dat vanuit dat hoekpunt de zijden in dezelfde richting samenvallen. VeelhoeksgetallenDe metvolgende in een hoekpunt geneste veelhoeken en gecentreerde veelhoeksgetallen voor dezelfde veelhoek zijn niet hetzelfde. Hetfiguur is daaromeen zinvolvoorbeeld verschil tussenvan [[kwadraatzeshoeksgetal]] en [[kwadraatgetal]] te maken. len:
De volgende figuur is een voorbeeld van [[zeshoeksgetal]]len:
{|
== Veelhoeksgetallen en gecentreerde veelhoeksgetallen ==
Er is een verschil tussen de veelhoeksgetallen gedefinieerd vanuit een hoekpunt en [[Gecentreerd veelhoeksgetal|gecentreerde veelhoeksgetallen]]. De gelijkvormige veelhoeken, steeds met een zijde één groter, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben éénin gezamenlijktegenstelling hoekpunt.tot Allede veelhoeken hierin met zijden van minimaal één delen bovendien voordie een deelveelhoeksgetal de beide zijdensamenstellen, die aan ditgeen hoekpuntgezamenlijke liggenpunten.
De verschillende veelhoeken, die een gecentreerd veelhoeksgetal samenstellen, hebben geen punten hetzelfde.
Als <math>z</math> het aantal zijden is van een veelhoek, dan is de formule voor het gecentreerde <math>n</math>e <math>z</math>-hoeksgetal gegeven door
:<math>C_z(n) = \tfrac12 z \cdot n^2 - \tfrac12 z \cdot n + 1 = \tfrac12 n (z \cdot n - z) + 1</math>
De gecentreerde achthoeksgetallen zijn de [[oneven getal]]len in het [[kwadraat]], dus de oneven kwadraten. Alle even [[Perfect getal|perfecte getallen]] groter dan 6 zijn een gecentreerd negenhoeksgetal.
<gallery>
Centered pentagonal number 31.svg|31 is het vierde gecentreerde vijfhoeksgetal.
</gallery>
Een tabel met de eerste gecentreerde veelhoeksgetallen is:
{| class="wikitable"
! rowspan="2"|Naam
! rowspan="2"|Formule
! colspan="8"|''n''
! rowspan="2"|[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]
|-
! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8
|-
| gecentreerd driehoeksgetal
| <math>\tfrac32 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 ||align='right'| 4 || 10 || 19 ||align='right'|31 ||align='right'|46 ||align='right'|64 ||align='right'|85
| {{Link OEIS|id=A005448}}
|-
| gecentreerd vierhoeksgetal
| <math>2 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 ||align='right'| 5 || 13 || 25 ||align='right'|41 ||align='right'|61 ||align='right'|85 || 113
| {{Link OEIS|id=A001844}}
|-
| gecentreerd vijfhoeksgetal
| <math>\tfrac52 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 ||align='right'| 6 || 16 || 31 ||align='right'|51 ||align='right'| 76 || 106 || 141
| {{Link OEIS|id=A005891}}
|-
| gecentreerd zeshoeksgetal
| <math>3 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 ||align='right'| 7 || 19 || 37 ||align='right'|61 ||align='right'|91 || 127 || 169
| {{Link OEIS|id=A003215}}
|-
| gecentreerd zevenhoeksgetal
| <math>\tfrac72 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 ||align='right'| 8 || 22 || 43 ||align='right'|71 || 106 || 148 || 197
| {{Link OEIS|id=A069099}}
|-
| gecentreerd achthoeksgetal
| <math>(2n - 1)^2 </math>
| 1 ||align='right'| 9 || 25 || 49 ||align='right'|81 || 121 || 169 || 225
| {{Link OEIS|id=A016754}}
|-
| gecentreerd negenhoeksgetal
| <math>\tfrac92 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 || 10 || 28 || 55 ||align='right'|91 || 136 || 190 || 253
| {{Link OEIS|id=A060544}}
|-
| gecentreerd 10-hoeksgetal
| <math>5 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 || 11 || 31 || 61 || 101 || 151 || 211 || 281
| {{Link OEIS|id=A062786}}
|-
| gecentreerd 11-hoeksgetal
| <math>\tfrac{11}{2} n(n - 1) + 1 </math>
| 1 || 12 || 34 || 67 || 111 || 166 || 232 || 309
| {{Link OEIS|id=A069125 }}
|-
| gecentreerd 12-hoeksgetal
| <math>6 n(n - 1) + 1 </math>
| 1 || 13 || 37 || 73 || 121 || 181 || 253 || 337
| {{Link OEIS|id=A003154 }}
|}
== Externe links ==
* {{Link OEIS|id=A086270}}. veelhoeksgetallen
* {{en}} [[MathWorld]]. [http://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html Polygonal Number].
* {{en}} MathWorld. [http://mathworld.wolfram.com/CenteredPolygonalNumber.html Centered Polygonal Number].
{{DEFAULTSORT:Veelhoeksgetal}}
| 