Versie van 30 sep 2017 09:44 bewerken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 33.881 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 1 okt 2017 09:19 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 2: [[Bestand:Euler's formula.png\|{{largethumb}}\|e<sup>iφ</sup>]] De '''formule van Euler''', genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige [[Leonhard Euler]], legt een verband tussen de [[goniometrische functie]]s en de [[complex getal\|complexe]] [[exponentiële functie]]. De formule zegt dat voor elk [[reëel getal]] <math>x</math> geldt dat: :<math>e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x).</math> ~~Daarbij~~Daarin is ''[[e (wiskunde)\|<math>e</math>]]'' het grondtal van de [[natuurlijke logaritme]], <math>i</math> de [[imaginaire eenheid]], en zijn <math>\cos</math> en <math>\sin</math> respectievelijk de goniometrische functies [[sinus en cosinus]] met het argument in [[Radiaal (wiskunde)\|radialen]]. De formule geldt ook voor complexe waarden van <math>x</math>. == Bewijs == Regel 10 ⟶ 11: === Analytische methode === WeBepaal ~~schrijven~~de ~~dit~~[[afgeleide]] ~~als~~van ~~een~~de [[Functie (wiskunde)\|functie]]:▼ ~~De formule van Euler is te bewijzen door middel van [[Afgeleide\|differentiëren]]. Hiertoe herschrijven we de formule eerst:~~ :<math>~~\frac~~f(x) = e^{-ix} (\cos(x) + i \cdot \sin(x)~~}{e^{ix}} = 1~~)</math> Met behulp van de [[Productregel (afgeleide)\|productregel]] volgt: ▲We schrijven dit als een [[Functie (wiskunde)\|functie]]: :<math>\frac{\mathrm{d}f(}{\mathrm{d}x)} = -i \~~equiv~~cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) ) = </math> ::<math> = e^{-ix} ~~\cdot~~ (\sin(x) - i \cdot \cos(x)) + e^{-ix} ~~\cdot~~ (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) ) = </math>▼ ~~Als we dit differentiëren krijgen we (Bij deze afleiding wordt gebruikgemaakt van de [[Productregel (afgeleide)\|productregel]]):~~ ::<math> = e^{-ix} \cdot 0 = 0 </math>▼ De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie <math>f</math> constant is:▼ ~~:<math>\frac{df}{dx} = -i \cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )</math>~~ ▲::<math> = e^{-ix} \cdot (\sin(x) - i \cdot \cos(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) ) </math> ▲::<math> = e^{-ix} \cdot 0 = 0 </math> ▲De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie constant is: :<math>f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) = C</math> Regel 34 ⟶ 30: :<math>\cos(x) + i\cdot \sin(x) = C \cdot e^{ix}</math> ~~We kennen echter de waarde~~Omdat voor ~~het geval dat~~ <math>x = 0</math> geldt, ~~namelijk:~~dat :<math>1\cos(0) + i \cdot \sin(0) = C \~~cdot~~,e^0 1= C</math>▼ :volgt dat <math>C=1</math> en <math>e^{ix} = \cos(0x) + i \cdot \sin(0x) ~~= C \cdot e^{i\cdot 0}~~</math>. ▲:<math>1 + 0 = C \cdot 1</math> ~~Hieruit volgt dat <math>C = 1</math> en dus zien we dat inderdaad <math>e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sin(x)</math>.~~ === Taylorreeks === Regel 56 ⟶ 49: == Sinus en cosinus == Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid : :<math>\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>

Formule van Euler: verschil tussen versies