Inverse matrix: verschil tussen versies

305 bytes toegevoegd ,  2 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
In de [[lineaire algebra]] is de '''inverse matrix''', of kort de '''inverse''', van een [[vierkante matrix]] het inverse element van die [[matrix (wiskunde)|matrix]] met betrekking tot de bewerking [[matrixvermenigvuldiging]]. Niet iedere matrix heeft een inverse. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix ''<math>A''</math>, genoteerd als ''A<supmath>A^{-1}</supmath>'', is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als ''<math>A''</math>, die zowel links als rechts met ''<math>A''</math> vermenigvuldigd de [[eenheidsmatrix]] oplevert.
 
WanneerAls van een stelsel vergelijkingen ''A'' '''x''' <math>Ax= '''b'''</math> de inverse ''A<supmath>A^{-1}</supmath>'' van ''<math>A''</math> bekend is, kan voor wisselende waarden van de [[vector (wiskunde)|vector]] '''<math>b'''</math>, de vector '''<math>x'''</math> worden berekend. De oplossing is '''<math>x''' = ''A<sup>^{-1}b</supmath>'' '''b'''.
 
==Definitie==
Een ''<math>n''×''\times n''</math>-matrix <math>A</math> heet inverteerbaar, als er een ''<math>n''×''\times n''</math>-matrix <math>B</math> bestaat waarvoor geldtzodanig dat
:<math>AB=BA=I</math>
 
HierbijHierin is <math>I</math> de [[eenheidsmatrix]] van orde <math>n</math>, ook wel aangeduid met <math>I_n</math>. De matrix <math>B</math> heet de inverse van <math>A</math> en wordt aangeduid met <math>A^{-1}</math>.
 
Een inverteerbare matrix wordt ook ''regulier'' genoemd en een niet-inverteerbare ''singulier''.
 
== Eigenschappen==
* [[Uniciteit]]: De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat ''B'' de inverse<math>n\times isn</math>-matrix van<math>C</math> ''A''ook eneen ''C''inverse eenis anderevan inverse<math>A</math>. Dan is
::<math>BC=BICI=BC(ACAA^{-1})=(BACA)CA^{-1}=ICIA^{-1}=CA^{-1}</math>.
* Als ''<math>A''</math> inverteerbaar is, is ook ''A<supmath>A^{-1}</supmath>'' inverteerbaar en
::<math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
* Als ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> beide inverteerbare ''<math>n''×''\times n''</math>-matrices zijn, is ook hun product ''<math>AB''</math> inverteerbaar en
::<math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
* De [[getransponeerde matrix]] ''A<supmath>TA^\top</supmath>'' van een inverteerbare matrix ''<math>A''</math>, is ook inverteerbaar en
::<math>(A^{T}\top)^{-1}=(A^{-1})^{T}\top</math>
 
===Inverteerbaarheid===
Voor een ''<math>n''×''\times n''</math>-matrix ''<math>A''</math> zijn de volgende uitspraken equivalent
* ''<math>A''</math> is inverteerbaar;
* er is een <math>n\times n</math>-matrix <math>B</math> zodat <math>AB=I_n</math>;
* de [[determinant]] van ''A'' is verschillend van 0.
* er is een <math>n\times n</math>-matrix <math>C</math> zodat <math>CA=I_n</math>;
* de vergelijking ''A'' '''x''' = '''0''' heeft als enige oplossing '''x''' = '''0'''
* de [[determinant]] van ''<math>A''</math> is verschillend van 0.;
* de vergelijking ''A'' '''x''' = '''b''' heeft precies één oplossing voor elke '''b'''
* de vergelijking ''A'' '''x''' <math>Ax= '''0'''</math> heeft als enige oplossing '''<math>x''' = '''0'''</math>;
* ''A<sup>T</sup>'' is inverteerbaar
* de vergelijking ''A'' '''x''' <math>Ax= '''b'''</math> heeft precies één oplossing voor elke '''<math>b'''</math>;
* er is een ''n''×''n''-matrix ''B'' zodat ''AB=I<sub>n</sub>''
* ''A<supmath>TA^\top</supmath>'' is inverteerbaar;
* er is een ''n''×''n''-matrix ''C'' zodat ''CA=I<sub>n</sub>''
* de kolommen van ''<math>A''</math> zijn [[Lineaire onafhankelijkheid|lineair onafhankelijk]];
* de rijen van ''<math>A''</math> zijn lineair onafhankelijk;
* de [[Rang (lineaire algebra)|rang]] van ''<math>A''</math> is ''<math>n''</math>;
* de trapvorm[[echelonvorm]] van ''<math>A''</math> is eende eenheidsmatrix.
 
==Inverteren==
==Matrices inverteren==
Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van [[algoritme]]n om een matrix te inverteren.
 
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\rm{adj}(A)</math>
 
Hierin is <math>\det(A)</math> de [[determinant]] van <math>A</math> en <math>\rm{adj}(A)</math> de [[geadjugeerde matrix|geadjugeerde]] van <math>A</math>.
 
De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk.
 
Een van de [[numerieke wiskunde|numerieke]] methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix <math>A</math> is door middel van [[Gauss-eliminatie]] de uitgebreide matrix <math>[A|I_n]</math> te herleiden tot <math>[I_n|A^{-1}]</math>.
 
==Niet-vierkante matrices==
Voor een niet-vierkante matrix ''<math>A''</math> kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met ''<math>A''</math> een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter somswel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.
 
==Voorbeeld==
De 2×2-matrix ''A'' = <math>A=\begin{bmatrix} \ a&b\\c&d \ \end{bmatrix}</math> &nbsp; is inverteerbaar als ''ad-bc'', de [[determinant]] van ''<math>A'', niet</math> gelijkongelijk is aan 0: <math>ad-bc\ne 0</math>. De inverse van ''<math>A''</math> wordt dan gegeven door:
:<math>A^{-1} \ = \ \frac{1}{ad-bc} \ \ \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}</math>
 
[[Categorie:Lineaire algebra]]
26.313

bewerkingen