Ondergroep (wiskunde): verschil tussen versies

 

Preciezer kan men zeggen dat de deelverzameling <math>H\subseteq G</math> van een groep <math>(G,*)</math> een ondergroep van <math>(G,*)</math> is als de [[restrictie (wiskunde)|beperking]] van de bewerking <math>*</math> tot <math>H\times H</math> voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

*Voor een deelverzameling <math>S\subseteq G</math> bestaat er een kleinste ondergroep die <math>S</math> omvat. Deze kleinste ondergroep is de doorsnede van alle ondergroepen die <math>S</math> omvatten. Deze kleinste ondergroep wordt aangeduid met <math>\langle S\rangle</math> en wordt de door <math>S</math> [[Voortbrengen (algebra en lineaire algebra)|voortgebrachte]] ondergroep genoemd. Een element van <math>G</math> is dan en slechts dan in <math>\langle S\rangle</math> als het een eindig product is van elementen van <math>S</math> en hun inverses.

*Elk element <math>a</math> van een groep <math>G</math> genereert een cyclische ondergroep <math>\langle a\rangle</math>. Als er een positief geheel getal <math>n</math>is zodanig dat <math>\langle a\rangle</math> [[isomorfisme|isomorf]] is met <math>\Z/n\Z</math>, dan is <math>n</math> het kleinste positieve gehele getal waarvoor <math>a^n=e</math> en wordt <math>n</math> de ''orde'' van <math>a</math> genoemd. Is <math>\langle a\rangle</math> isomorf met <math>\Z</math>, dan zegt men dat <math>a</math> van een ''oneindige orde'' is.

 

==Voorbeeld==