Functiecompositie: verschil tussen versies

[[AfbeeldingBestand:Compfun.png|250px|right|thumb|''g''&nbsp;Compositie <smallmath>og \circ f</smallmath>&nbsp;''f'', de '''compositie''' van de functies ''<math>f''</math> en ''<math>g''.</math>;

(''g''&nbsp;<smallmath>o</small>&nbsp;''(g \circ f'') (c)&nbsp; geeft=\#</math> bijvoorbeeld &nbsp;#.]]

In de [[wiskunde]] is '''functiecompositie''', of '''samenstelling''', de constructie van een nieuwe [[functie (wiskunde)|functie]] uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies ''<math>f''</math> en ''<math>g''</math> noemt men een '''samengestelde functie'''. genoteerd als ''g''&nbsp;<supmath><sub>og \circ f</submath></sup>&nbsp;''f''. Er geldt:

In de nevenstaande figuur is dit in beeld gebracht. Daarin zienziet wemen bijvoorbeeld dat de functie ''<math>f''</math> aan het origineel ''<math>b''</math> het beeld ''<math>f''(''b'')=1</math> toevoegt. De functie ''<math>g''</math> beeldt het origineel 1 af op ''<math>g''(1) =</math> @. De samenstelling <math>g \circ f</math> voegt dus aan het origineel ''<math>b''</math> het symbool @ toe:

De samenstelling van de twee functies <math> f: X \to Y </math> en <math> g: Y \to Z </math>, genoteerd als ''g''&nbsp;<supmath>g \circ f : X \to Z<sub/math>o, is voor </submath>x \in X</supmath>&nbsp;''f'', is gedefinieerd door:

:<math> \forall x \in X, \ (g\circ f)(x)=g(f(x)).</math>.

Functiecompositie is [[Associativiteit|associatief]], dat wil zeggen dat voor de functies ''<math>f'', ''g''</math> en ''<math>h''</math> geldt dat:

:<math>\left(h\circ g\right)\circ f = h\circ\left (g\circ f\right)</math>,

dit aangezien

FunctiecompositieDe volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet [[Commutativiteit|commutatief]]; vooris. Voor de functies <math>f:\R\to\R</math> en <math>g:\R\to\R</math> met

:<math> f(x):=x^2</math> \qquad \mbox{en} \qquad <math>g(x):=x+1 </math>

geldt bijvoorbeeld dat:

De [[Identiteitsfunctie|identieke afbeelding]] gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie ''<math>f'' : ''A'' →\to ''B''</math> geldt dat

waar ''id''<submath>''A''\mathrm{id}_A</submath> en ''id''<submath>''B''\mathrm{id}_B</submath> de respectievelijke identiteiten op de verzamelingen ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> weergevenzijn.

Belangrijke kenmerken die een functie ''<math>f''</math> bezitten kan, zijn

* [[Injectie (wiskunde)|Injectiviteit]] (''<math>f''</math> beeldt niet meer dan één [[element (wiskunde)|element]] uit <math>A</math> af op een bepaald element uit <math>B</math>),

* [[Surjectiviteit]] (''<math>f''</math> beeldt ten minste één element uit <math>A</math> af op een bepaald element uit <math>B</math>),

* [[Bijectie|Bijectiviteit]] (''<math>f''</math> beeldt precies één element van <math>A</math> af op een bepaald element uit <math>B</math>).

Omgekeerd geldt dat: als een functiecompositie <math>g \circ f </math>

:* injectief is, dan is <math>g \circ f </math> injectief.

* Injectiefsurjectief is, dan is ''f''<math>g</math> surjectief, injectief.

* Surjectiefbijectief is, dan is ''g''<math>f</math> surjectief,injectief en <math>g</math> surjectief.