|
In de [[lineaire algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''lineaire transformatie''' een [[lineaire afbeelding]] van een [[vectorruimte]] naar zichzelf. Om te transformeren wordt hiervoor een transformatiematrix gebruikt (ook wel: transformatrix{{Bron?||2016|09|06}}).
EenAls een lineaire transformatie kan [[bijectie]]f zijn. In dat gevalis, is de [[Afbeelding_(wiskunde)#Inverse|inverse]] ook een lineaire transformatie.
==Eindigdimensionale geval==
=== Matrix van een lineaire transformatie===
Door de keuze van een geordende basis <math>(b_1, \ldots ,b_n)</math> in <math>V</math> wordt eende lineaire vectortransformatie <math>x \in VT</math> geheel bepaald door de coördinaten[[Matrix (wiskunde)|matrix]] <math> \xi_1, \ldots ,\xi_ntau</math> tendie opzichteals elementen de coördinaten van dezede basisbeelden van de basisvectoren heeft. Deze beelden worden bepaald door:
:<math>xT(b_i)=\sum_{ij=1}^n \xi_i b_it_{ij} b_j</math>.,
Voor het beeld <math>T(x)=\sum_{j=1}^n \eta_j b_j</math> van <math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i </math> geldt dus:
De lineaire transformatie <math>T</math> wordt bepaald door de beelden van de basisvectoren:
:<math>\sum_{j=1}^n \eta_j b_j =T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n t_{ij}b_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}b_j</math> ,.▼
:<math>T(b_i)=\sum_{j=1}^n t_{ij} b_j</math>.
De transformatie <math>T</math> wordt dus vastgelegd door de getallen (de matrix) <math>(t_{ij})</math>.
Het beeld <math>T(x)</math> van <math>x</math> onder <math>T</math> heeft de coördinaten <math> \eta_1, \ldots ,\eta_n</math>:
:<math>T(x)=\sum_{i=1}^n \eta_i b_i </math>.
Er geldt dus:
▲:<math>\sum_{j=1}^n \eta_j b_j =T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n t_{ij}b_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}b_j</math>,
zodat:
:<math>\eta_j=\sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}</math>.
Dit komt neer op dehet matrixvermenigvuldigingmatrixproduct van de kolomvector <math>\xi=[\xi_1, \ldots ,\xi_n]^\top</math> van de de coördinaten van <math>x</math> met de matrix <math>\Tautau =(t_{ij})^\top</math>, met als resultaat de kolomvector <math>\eta=[\eta_1, \ldots ,\eta_n]^\top</math> van de coördinaten van <math>T(x)</math>:
:<math>\eta = \Tautau \xi</math>.
Uitgeschreven ziet dat er zo uit:
</math>,
waarin <math>\tau_{ij} =t_{ji}</math>. De matrix <math>\!\;\Tautau</math> die de transformatie <math>T</math> representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.
====Voorbeeld====
| 