Groepswerking: verschil tussen versies

18 bytes verwijderd ,  4 jaar geleden
k
[[Afbeelding:Group action on equilateral triangle.svg|tight|thumb|Gegeven een [[gelijkzijdige driehoek]] "werkt" de [[rotatie (meetkunde)|rotatie]] van 120° rond het midden van de [[driehoek (meetkunde)|driehoek]] tegen de klok in op de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van [[hoekpunt (meetkunde)|hoekpunt]]en van de driehoek door elke hoekpunt op een andere hoekpunt af te beelden.]]
In de [[groepentheorie]], een onderdeel van de [[abstracte algebra]] en de [[meetkunde]], is '''''groepswerking''''', of '''''groepsactie''''' (''group action''), een begrip waarmee [[symmetrie]]ën van [[wiskundig object|wiskundige object]]en beschreven kunnen worden met behulp van [[groep (wiskunde)|groep]]en. Men beschouwt een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn [[symmetriegroep]], die bestaat uit [[bijectie|bijectieve]]ve [[transformatie (wiskunde)| transformatie]]s die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een '''[[permutatiegroep ]]''' genoemd (als de verzameling [[eindigheid|eindig]] is en niet een [[vectorruimte]] vormt) of een '''transformatiegroep''' (als de verzameling een [[vectorruimte]] is en de groep als [[lineaire transformatie]]s op de verzameling werkt).
 
== Definitie ==
* <math>x(gh) = (xg)h</math>
* <math>xe=x</math>
 
 
Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.
*met het eenheidselement <math>e</math> van de groep correspondeert de [[identieke afbeelding]] van <math>X</math>
::<math>x \circ e = x</math>.
 
 
Uit de definitie volgt dat voor iedere ''g'' in ''G'' de functie van ''x'' in X naar ''g''·''x'' in X [[bijectief]] is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van ''g'' in ''G'' naar ''g''·''x'' in de verzameling bijecties van ''X'' naar ''X'' injectief is, dan noemt men de groepswerking ''faithful'' of effectief.
Voorbeelden:
*''G'' is de verzameling isometrieën van {1, 2, 3}, bestaande uit de identiteit en het verwisselen van 1 en 3. ''X'' = {1, 2, 3}. De banen zijn {1, 3} en {2}.
*''G'' is als hierboven. ''X'' is de verzameling functies van {1, 2, 3} naar {A, B}. De banen zijn, kort genoteerd, {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA}), {BAB} en {BBB}.
 
== Toepassing ==
Stel ''V'' is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie, of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van [[symmetrie]] van een object op/in ''V'' (waarbij een "object in ''V''" niet verward moet worden met een element van ''V'') kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op ''V'', met voor elk punt als functiewaarde een [[tupel]] met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor ''X'' kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor ''G'' kunnen we de [[symmetriegroep]] van V nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als ''g'' een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door ''x'', het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door ''gx'', enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door ''x'' bestaat dan uit de elementen ''g'' van ''G'' waarvoor ''g''·''x'' = ''x''. Als ''x'' de [[indicatorfunctie]] is van een deelverzameling ''W'' van ''V'' dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van ''V'' en ''W''.
 
Als ''V'' de hele ruimte is kunnen we voor ''G'' nemen de [[euclidische groep]] ''E''(''n'') of alleen de [[directe isometrie]]ën: ''SE''(''n''). In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen<ref>Het gaat om standen die binnen de betreffende ruimte bereikbaar zijn vanuit de beginstand, dus bijvoorbeeld niet het omdraaien via een hogerdimensionale ruimte.</ref> van een voorwerp ([[star lichaam]] in de ruime zin van het woord, ''n'' hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.
Bij zes punten is wel een [[Chiraliteit (wiskunde)|chirale]] figuur mogelijk, in het patroon abbaababbaababbaab..
 
Zie ook de [[Isometriegroep#Relatie_met_symmetriegroepenRelatie met symmetriegroepen|relatie tussen isometriegroep en symmetriegroepen]].
 
{{appendix}}
 
[[Categorie:Groepentheorie]]