Moment (wiskunde): verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →‎Centraal moment: correctie voornaamwoordelijk bijwoord ("ervoor zorgen") met AWB
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
In de [[kansrekening]] en [[statistiek]] zijn '''momenten''' kerngrootheden van een [[kansverdeling]]. Met behulp van momenten worden begrippen uit de beschrijvende statistiek als [[gemiddelde]], [[variantie]], [[scheefheid]] en [[kurtosis]] bepaald. Een kansverdeling wordt uniek vastgelegd door zijn momenten, mits deze bestaan. Voor enkele speciale verdelingen, zoals de [[Lévyverdeling]], bestaan niet (alle) momenten. Momenten worden toegepast bij de [[momentenmethode]] en zijn verbonden aan de [[momentgenererende functie]].
 
Er wordt onderscheid gemaakt tussen gewone momenten, centrale momenten, momenten om ''<math>c''</math>, absolute momenten en gestandaardiseerde momenten.
 
==(Gewoon) moment==
Het ''<math>k''</math>-de '''moment''' van een reëelwaardige functie ''<math>f''(''x'')</math> wordt gegeven door
:<math>
\mu'_k = \int_{-\infty}^\infty x^k\,f(x)\,{\rm d}x.
</math>
Wanneer ''<math>f''(''x'')</math> een [[kansverdeling]] is, met bijbehorende [[stochastische variabele]] ''<math>X''</math>, dan is μ'<submath>k\mu'_k</submath> gelijk aan de [[verwachtingswaarde]] van ''X''<supmath>X^k</supmath>.
 
Het eerste moment is gelijk aan de verwachtingswaarde: <math>\mu'_1 = {\rm E}(X)=\mu</math>.
Regel 14:
 
==Centraal moment==
Het ''<math>k''</math>-de '''centraal moment''' van een kansverdelingkansdichtheid ''<math>f''(''x'')</math>, met bijbehorende stochastische variabele ''<math>X''</math>, wordt gegeven door
:<math>
\mu_k = {\rm E}((X-\mu)^k) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^k\,f(x)\,{\rm d}x.
</math>
 
Door te centraliseren wordt ervoor gezorgd dat het ''<math>k''</math>-de centrale moment niet van lagere orde momenten afhangt: het eerste centrale moment is per definitie nul, het tweede centrale moment is <math>{\rm E}(X-\mu)^2=\sigma^2</math>.
 
==Moment om een constante==
In plaats van te centraliseren, kan een moment ook om een andere constante ''<math>c''</math> berekend worden.
Het ''<math>k''</math>-de '''moment om ''<math>c''</math> ''' van een kansverdelingkansdichtheid ''<math>f''(''x'')</math>, met bijbehorende stochastische variabele ''<math>X''</math>, wordt gegeven door
:<math>
\mu_k(c) = {\rm E}((X-c)^k) = = \int_{-\infty}^\infty (x-c)^k\,f(x)\,{\rm d}x
</math>
Het gewone ''<math>k''</math>-de moment is dus gelijk aan het ''<math>k''</math>-de moment om nul: μ'<sub>''k''</sub> = μ<sub>''k''</sub>(''c'' = 0).
 
==Gestandaardiseerd moment==
Het ''<math>k''</math>-de '''gestandaardiseerde moment''' van een kansverdelingkansdichtheid ''<math>f''(''x'')</math>, met bijbehorende stochastische variabele ''<math>X''</math>, wordt gegeven door
:<math>
\bar\mu_k = \frac{\mu_k}{\sigma^k}
</math>
waarbij σ<math>\sigma</math> de [[standaardafwijking]] is. Het gestandaardiseerde moment is een [[dimensieloos|dimensieloze]] maat.
 
* Het eerste gestandaardiseerde moment is altijd nul, omdat het eerste centrale moment per definitie nul is
* Het tweede gestandaardiseerde moment is altijd één, want het tweede centrale moment komt overeen met de [[variantie]] (μ<sub>2</submath>\mu_2=σ<sup>\sigma^2)</supmath>), hetgeen gelijk is aan het kwadraat van de standaardafwijking
* Het derde gestandaardiseerde moment wordt [[scheefheid]] genoemd
* Het vierde gestandaardiseerde moment is direct gerelateerd aan de [[kurtosis]]
 
==Absoluut moment==
Het ''<math>k''</math>-de '''absoluutabsolute moment''' (om ''<math>c''</math>) van een kansverdelingkansdichtheid ''<math>f''(''x'')</math>, met bijbehorende stochastische variabele ''<math>X''</math>, wordt gegeven door
:<math>
M_k(c) = {\rm E}(|X-c|^k) = = \int_{-\infty}^\infty |x-c|^k\,f(x)\,{\rm d}x
Regel 48:
 
==Berekening in een steekproef==
Berekening van momenten in een steekproef gaat analoog als berekening bij een kansverdeling. Zo kan bij een steekproef ''x''<submath>1x_1,\ldots, x_n</submath>, ...,het ''x''<submath>''n''k</submath> het ''k''-de moment berekend worden via
:<math>
m'_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^k
Regel 58:
 
==Berekening van momenten met de momentgenererende functie==
Met behulp van de [[momentgenererende functie]] ''M''<sub>''X''</submath>M_X(''t'') = \operatorname{E(} e<sup>''^{tX''}</supmath>) kunnen doorgaans eenvoudig de momenten berekend worden: het ''<math>k''</math>-de moment is gelijk aan de waarde van de ''<math>k''</math>-de afgeleide van ''M''<submath>''X''M_X</submath> in 0. De mathematische details staan bij [[momentgenererende functie]].
 
{{Navigatie beschrijvende statistiek}}