Versie van 20 mei 2016 18:08 bewerken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen →‎Goniometrische en hyperbolische functies ← Oudere bewerking		Versie van 29 mrt 2017 06:55 bewerken ongedaan maken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 33.884 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: Een '''complexe functie''' is een [[complexwaardige functie]] van een [[~~complex~~Complex getal\|complexe]] variabele, dus een [[Functie (wiskunde)\|functie]] :<math>f: D \to \mathbb{C}</math> waarvan het definitiegebied <math>D</math> een [[deelverzameling]] is van de complexe getallen (<math>\mathbb{C}</math>). Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd: :<math>f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math>, waarin ''u'' en ''v'' [[reëelwaardige functie]]s zijn van twee [[~~reëel~~Reëel getal\|reële]] variabelen. == Afgeleide == WeIn ~~zeggen~~overeenstemming ~~dat~~mat ~~een~~de ~~complexe functie~~reële [[afgeleide~~\|differentieerbaar~~]] iswordt de complexe afgeleide in een punt <math>c\in\mathbb{C}</math> van de functie <math>f</math> gegeven als de limiet :<math>f'(c) = \lim_{z\rightarrow c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}</math>, verondersteld dat deze bestaat. ~~bestaat. De limiet noemen we dan de '''afgeleide''' van ''f'' in het punt ''c'', genoteerd als <math>f'(c)\,</math>.~~ == Analytische functie == Een complexe functie die overal in zijn domein differentieerbaar is, wordt ~~'''~~analytisch~~'''~~ genoemd. In de [[~~analyse~~Analyse (wiskunde)\|reële analyse]] wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een [[machtreeks]]. De benaming analytisch is voor complex differentieerbare functies gerechtvaardigd, omdat complexe functies die eenmaal differentieerbaar zijn, automatisch oneindig vaak differentieerbaar zijn en dus ontwikkelbaar in machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de complexe analyse en de reële analyse. Voor complexe functies wordt in plaats van analytisch ook de term [[Holomorfe functie\|~~'''~~holomorf~~'''~~]] gebruikt, van het Griekse ὅλος (holos) dat ''geheel'' betekent. == Meromorfe functie == {{Zie hoofdartikel\|Meromorfe functie}} Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van [[geïsoleerd punt\|geïsoleerde punt]]en na. Men noemt zo'n functie een '''[[meromorfe functie]]'''. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat ''deel'' betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) ''geheel''. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een [[ophefbare singulariteit]] of een [[pool (complexe analyse)\|pool]]. Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van [[geïsoleerd punt\|geïsoleerde punt]]en na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat deel betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een [[ophefbare singulariteit]] of een [[Pool (functietheorie)\|pool]]. ~~===De Cauchy-Riemann-vergelijkingen===~~ ~~Als de complexe functie ''f'' differentieerbaar is in het punt <math>a+bi</math> en we schrijven voor ''f'':~~ === De Cauchy-Riemann-vergelijkingen === Als de complexe functie <math>f</math> differentieerbaar is in het punt <math>a+bi</math> en we schrijven voor <math>f</math>: :<math>f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math>, Regel 29 ⟶ 30: :<math>f'(a+bi)=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}(a,b)+i\frac{\partial{v}}{\partial{x}}(a,b)=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}(a,b)-i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}(a,b)</math>. De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van ''<math>u''</math> en ''<math>v''</math> in het punt ''<math>(a,b)''</math>. In dat punt voldoet ''<math>f''</math> dus aan de ~~zgn. '''~~[[Cauchy-Riemann-vergelijkingen]]~~'''~~: :<math>\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}</math> Regel 35 ⟶ 36: :<math>\frac{\partial{v}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{u}}{\partial{y}}</math> Omgekeerd geldt dat een functie ''<math>f''</math> die op ~~het~~zijn gehele ~~definitiegebied~~[[Domein ~~voldoet~~(wiskunde)\|domein]] aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen voldoet en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, analytisch is. === Bekende stellingen uit de reële analyse === De meeste stellingen uit de reële analyse gelden ook in de complexe analyse. We formuleren er een aantal. ==== Kettingregel ==== Zij <math>g:D\to\mathbb{C}</math> en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> beide analytische functies. Dan is de samenstelling <math>f\circ g:D\rightarrow\mathbb{C}</math> ook analytisch en voor de afgeleide geldt: :<math>(f\circ g)'(z)=f'(g(z))g'(z)</math> ==== Inverse functies ==== Zij <math>f:D\rightarrow\mathbb{C}</math> een complexe functie, en <math>f^{-1}:G\rightarrow\mathbb{C}</math> de inverse functie van f, dus zodat :<math>f(f^{-1}(z))=z</math> voor alle <math>z\in\mathbb{C}</math>. Als er geldt dat <math>f</math> differentieerbaar is in <math>w=f^{-1}(z)</math> en <math>f'(w)\neq 0</math>, dan bestaat de afgeleide van <math>f^{-1}</math> in het punt <math>z</math> en wordt gegeven door: :<math>(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(w)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))}</math> == Belangrijke complexe functies == === De exponentiële functie === ~~zie~~De ~~ook~~exponentiële functie wordt met behulp van de [[formule van Euler]] gegeven: ~~De exponentiële functie definiëren we als volgt:~~ :<math>e^{x+iy}=e^{x}(\cos{y}+i\cdot\sin{y})\,</math> Regel 64 ⟶ 63: :<math>\frac{d}{dz}e^z=e^z\,</math> === De logaritme === ~~Omdat de complexe exponentiële functie niet [[injectief]] is, kunnen we niet zonder meer de logaritme als inverse daarvan definiëren.~~ De exponentiële functie <math>e^{x+iy}\,</math> is ~~wel~~alleen ~~injectief~~een ~~indien~~[[Injectie (wiskunde)\|injectie]] wanneer de waarden van <math>y ~~beperkt~~</math> zijn beperkt tot een interval ter lengte <math>2\pi</math>. Nu kunnen we de logaritme definiëren: :<math>\log{z}=\log{\|z\|}+i\arg{z}</math> Hierbij kiezen we het argument als volgt: :<math>b\leq\arg{z}<b+2\pi</math> ~~Duidelijk~~De logaritme is ~~dat de logaritme~~ gedefinieerd is op <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>. Kiezen we de waarde <math>b=-\pi</math> krijgen we de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt. Regel 86 ⟶ 85: Hierbij zijn z en w complexe getallen. === Machten === Met behulp van de logaritme en de exponentiële functie kunnen machten worden gedefinieerd. Als a en z complexe getallen zijn definiëren we Regel 95 ⟶ 94: :<math>\frac{d}{dz}z^{a}=az^{a-1}</math> === Goniometrische en hyperbolische functies === De sinus en cosinus kunnen ook met complexe e-machten gedefinieerd worden. Voor complexe getallen <math>z</math> is Regel 146 ⟶ 145: :<math>\cosh{a}=\cos{(ia)}</math> ==~~Integratie~~ Machtreeksen == ===~~Paden~~ Hogere afgeleiden === Een '''pad''', of een '''boog''' C is een deelverzameling van de complexe getallen zodat <math>C=\{c(t):t\in [a,b]\}</math>, waarbij c(t) een complexe functie is: <math>c(t)=a(t)+i\cdot b(t)</math> met a(t), b(t) reële functies. De functie c(t) wordt de '''parametrizering''' van C genoemd. Als c(t) continue afgeleiden heeft in [a,b] dan noemen we C een '''gladde boog''' of kortweg '''glad'''. ~~Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrizering <math>c(t)=e^{i\cdot t}</math> met <math>[a,b]=[0,2\pi]</math>~~ ~~Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0. C is hier dus een '''gesloten pad''.~~ ~~===Integratie===~~ Zij <math>c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}</math> een parametrizering van een gladde boog C en zij <math>f:D\rightarrow\mathbb{C}</math> een complexe functie waarbij :<math>C\subset D</math>, dan definiëren we de complexe integraal: ~~:<math>\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt</math>~~ ~~Hierbij kan <math>f(c(t))c'(t)=u(t)+i\cdot v(t)</math> geschreven worden, zodat we overhouden~~ ~~:<math>\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt=\int_{a}^{b}u(t)dt+i\int_{a}^{b}v(t)dt</math>~~ ~~Als C een gesloten pad is, schrijven we ook wel~~ ~~:<math>\oint_{C}f(z)dz</math> om aan te geven dat we in een kring integreren.~~ ~~Vaak is het mogelijk om voor C meerdere parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal.~~ ~~===Voorbeeld===~~ ~~Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering <math>c(t)=e^{i\cdot t}</math> met <math>[a,b]=[0,2\pi]</math> en n een geheel getal. Dan~~ ~~:<math>\oint_{C}z^{n}dz=\int_{0}^{2\pi}(e^{it})^{n}ie^{it}dt=i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt</math>~~ ~~Als n=-1 houden we over~~ ~~:<math>i\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi i</math>~~ ~~Anders vinden we~~ ~~:<math>i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt=0</math>~~ ~~omdat de exponentiële functie een periodieke functie is.~~ ~~===Primitieven===~~ ~~In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor.~~ ~~====Definitie====~~ ~~Zij <math>f:d\rightarrow\mathbb{C}</math> een continue complexe functie. Een analytische functie~~ ~~:<math>F:d\rightarrow\mathbb{C}</math>~~ ~~wordt de '''primitieve''' genoemd als voor elk complex getal z uit D geldt dat F'(z)=f(z).~~ ~~====Hoofdstelling van de Calculus====~~ ~~{{Zie hoofdartikel\|Hoofdstelling van de integraalrekening}}~~ ~~Met primitieven kunnen we de complexe versie van de [[hoofdstelling van de calculus]] formuleren:~~ ~~Zij C een gladde kromme in D met beginpunt a en eindpunt b. Als F de primitieve is van f op D dan~~ ~~:<math>\int_{C}f(z)dz=F(b)-F(a)</math>~~ ~~====Primitieven, paden en kringintegralen====~~ ~~Het blijkt dat het hebben van een primitieve een fijne eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent:~~ ~~1) f heeft een primitieve~~ 2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrizering van een pad niets uit maakt!) Dus als C1 en C2 twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er ~~:<math>\int_{C1}f(z)dz=\int_{C2}f(z)dz</math>~~ ~~3) Kringintegralen zijn 0. Dus als C een gesloten pad is, geldt er~~ ~~:<math>\oint_{C}f(z)dz=0</math>~~ ~~==Machtreeksen==~~ ~~===Hogere afgeleiden===~~ Zoals eerder opgemerkt is, als f een analytische functie is op D en a een punt is in d dan is f oneindig vaak differentieerbaar in a. Verder geldt de volgende gelijkheid voor hogere afgeleides: Regel 212 ⟶ 153: Hierbij is C een gesloten kromme. === Machtreeksen en convergentiestralen === Als <math>c_{n}</math> een rij is van complexe getallen en a een complex getal is wordt :<math>\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}</math> een ~~'''~~machtreeks~~'''~~ genoemd om a. De machtreeks convergeert in b als :<math>\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(b-a)^{n}</math> Regel 223 ⟶ 164: convergeert. De ~~'''~~convergentiestraal~~'''~~ van een machtreeks definiëren we als volgt: :<math>R=\sup{\{\|z-a\|:\lim_{n\rightarrow\infty}{\|c_{n}(z-a)^{n}\|}=0\}}</math> Regel 229 ⟶ 170: Hierbij mag R ook de waarde oneindig aannemen. Het blijkt dat een machtreeks convergeert voor elke z die binnen de convergentiestraal valt. Dus als \|z-a\|<R, convergeert de reeks. === Taylorreeksen === Elke analytische functie valt te schrijven als een machtreeks. Als Regel 257 ⟶ 198: :<math>\log{z}=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\frac{(z-1)^n}{n}+...</math> == Integreren == ~~==Toepassingen van complexe functietheorie==~~ === Paden === Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}</math>. Een pad of een boog <math>C</math> is een deelverzameling van de complexe getallen zodat <math>C=\{c(t):t\in [a,b]\}</math>, waarbij c(t) een complexe functie is: <math>c(t)=a(t)+i\cdot b(t)</math> met a(t), b(t) reële functies. De functie c(t) wordt de parametrizering van C genoemd. Als c(t) continue afgeleiden heeft in [a,b] dan noemen we C een gladde boog of kortweg glad. Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrizering <math>c(t)=e^{i\cdot t}</math> met <math>[a,b]=[0,2\pi]</math> Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0. C is hier dus een gesloten pad. === Integreren === Zij <math>c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}</math> een parametrizering van een gladde boog C en zij <math>f:D\rightarrow\mathbb{C}</math> een complexe functie waarbij :<math>C\subset D</math>, dan definiëren we de complexe integraal: :<math>\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt</math> Hierbij kan <math>f(c(t))c'(t)=u(t)+i\cdot v(t)</math> geschreven worden, zodat we overhouden :<math>\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt=\int_{a}^{b}u(t)dt+i\int_{a}^{b}v(t)dt</math> Als C een gesloten pad is, schrijven we ook wel :<math>\oint_{C}f(z)dz</math> om aan te geven dat we in een kring integreren. Vaak is het mogelijk om voor <math>C</math> verschillende parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal. === Voorbeeld === Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering <math>c(t)=e^{i\cdot t}</math> met <math>[a,b]=[0,2\pi]</math> en n een geheel getal. Dan :<math>\oint_{C}z^{n}dz=\int_{0}^{2\pi}(e^{it})^{n}ie^{it}dt=i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt</math> Als n=-1 houden we over :<math>i\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi i</math> Anders vinden we :<math>i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt=0</math> omdat de exponentiële functie een periodieke functie is. === Primitieven === In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor. ==== Definitie ==== Zij <math>f:d\rightarrow\mathbb{C}</math> een continue complexe functie. Een analytische functie :<math>F:d\rightarrow\mathbb{C}</math> wordt de primitieve genoemd als voor elk complex getal z uit D geldt dat F'(z)=f(z). ==== Hoofdstelling van de integraalrekening ==== {{Zie hoofdartikel\|Hoofdstelling van de integraalrekening}} Met primitieven kunnen we de complexe versie van de hoofdstelling van de integraalrekening formuleren: Zij C een gladde kromme in D met beginpunt a en eindpunt b. Als F de primitieve is van f op D dan :<math>\int_{C}f(z)dz=F(b)-F(a)</math> ==== Primitieven, paden en kringintegralen ==== Het blijkt dat het hebben van een primitieve een fijne eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent: 1) f heeft een primitieve 2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrizering van een pad niets uit maakt!) Dus als C1 en C2 twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er :<math>\int_{C1}f(z)dz=\int_{C2}f(z)dz</math> 3) Kringintegralen zijn 0. Dus als C een gesloten pad is, geldt er :<math>\oint_{C}f(z)dz=0</math> === Oneigenlijke integralen === Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} = \sqrt \pi</math>. Een tweede voorbeeld is de [[stelling van Liouville]]: analytische functies met een begrensd bereik zijn constant. Dit geldt overduidelijk niet in de reële analyse. Zo is de [[~~sinus~~Sinus en cosinus\|sinus]] als functie van een reëel getal oneindig vaak differentieerbaar en bovendien [[~~bovengrens~~Bovengrens en ondergrens\|begrensd]], maar niet constant. De complexe versie is weliswaar oneindig vaak differentieerbaar, maar niet begrensd! Met deze laatste stelling kan de [[hoofdstelling van de algebra]] worden bewezen. ~~Met het laatstgenoemde stelling kan gemakkelijk de [[hoofdstelling van de algebra]] bewezen worden.~~ [[Categorie:Complexe analyse]]

Complexe functie: verschil tussen versies