Versie van 14 jan 2017 00:50 bewerken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.232 bewerkingen hersteld ← Oudere bewerking		Versie van 14 jan 2017 14:05 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen taal Nieuwere bewerking →
Regel 3: De ordinaalgetallen vormen een uitbreiding van de [[natuurlijk getal\|natuurlijke getallen]]. Eindige ordinaalgetallen zijn natuurlijke getallen, 0,1,2... Het eerste oneindige ordinaalgetal is <math>\omega</math>. Ordinaalgetallen werden in 1897 door [[Georg Cantor]]<ref>[[Georg Cantor]], ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. II'' (vert.: Bijdragen aan de grondslagen van de theorie van de transfiniete getallen II), [[Mathematische Annalen]] 49 (1897), 207-246. [http://www.archive.org/details/117770262 Vertaling in het [[Engels]]]. Citaat uit [[Akihiro Kanamori]], [http://math.bu.edu/people/aki/14.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen'' (Verzamelingenleer van Cantor tot Cohen)]</ref> ingevoerd om [[oneindige verzameling\|oneindige]] [[rij (wiskunde)\|rij]]en te accommoderen en om aan te kunnen geven hoe [[ordetheorie\|geordende]] [[verzameling (wiskunde)\|verzameling]]en zich tot elkaar verhouden<ref>Voor diepgaande inleidingen zie Levy (1979) en Sacks (2003)</ref>. In de [[verzamelingenleer]] is een '''ordinaalgetal''' (of gewoon een '''ordinaal''') het [[ordetype]] van een [[welgeordendheid\|welgeordende verzameling]]. Ordinalen worden meestal geïdentificeerd met [[Deelruimtetopologie\|~~erfelijke~~erfelijk]] [[transitieve verzameling]]en. Ordinalen ~~zijn~~vormen een uitbreiding van de [[natuurlijk getal\|natuurlijke getal]]len, die echter zowel van de [[geheel getal\|gehele getal]]len en van de [[kardinaalgetal]]len verschillen. Net als andere soorten getallen kunnen ordinalen worden opgeteld, vermenigvuldigd, en geëxponentieerd. De eindige ordinalen (en de eindige kardinalen) zijn de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, ..., dit aangezien elke twee totaalordeningen van een eindige verzameling [[orde-isomorfie\|orde-isomorf]] zijn. De minst oneindige ordinaal is ω, welk ordinaalgetal wordt geïdentificeerd met het [[kardinaalgetal]] <math>\aleph_0</math>. Maar in dehet transfiniete geval, verder dan ω, maken ordinaalgetallen op grond van hun orde-informatie een fijner onderscheid dan kardinalen. Terwijl er slechts één [[aftelbare verzameling\|aftelbare]] [[oneindige verzameling\|oneindige]] kardinaal, namelijk <math>\aleph_0</math> zelf is, zijn er oneindig veel aftelbare oneindige ordinalen, namelijk :ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω·2 + 1, ..., ω<sup>2</sup>, ..., ω<sup>3</sup>, ..., ω<sup>ω</sup>, ..., ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup>, ..., ε<sub>0</sub>, ... Regel 13: De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen vormt de [[eerste onaftelbare ordinaal]], ω<sub>1</sub>, die wordt geïdentificeerd met de kardinaal <math>\aleph_1</math> (de eerstvolgende kardinaal na <math>\aleph_0</math>). Welgeordende kardinalen worden geïdentificeerd met hun [[initiële ordinaal\|initiële ordinalen]], dat wil zeggen de kleinste ordinaal van die [[kardinaliteit]]. De kardinaliteit van een ordinaalgetal definieert een "een-op-meer-associatie" van kardinalen naar ordinalen. In het algemeen heeft ~~elk~~elke ordinaal α het ordetype van de verzameling van ordinalen die strikt genomen kleiner zijn dan α zelf. Deze eigenschap laat toe dat elke ordinaal kan worden weergegeven als een verzameling van alle ordinalen kleiner dan zichzelf. Ordinale kunnen als volgt worden gecategoriseerd: [[0 (getal)\|nul]], opvolgerordinalen, en limietordinalen (van verschillende [[cofinaliteit]]en). Gegeven een klasse van ordinalen, kan men het α-ste lid van die klasse identificeren, dat wil zeggen dat men de ordinalen in deze klasse kan indexeren (tellen). Een klasse is gesloten en onbegrensd als haar indexeringsfunctie [[Continue functie (analyse)\|continu]] is en nooit stopt. De '''[[Cantor-normaalvorm]]''' geeft elke ordinaal uniek weer als een [[eindige som]] van [[ordinaalmacht]]en van ω. Dit kan echter niet de basis vormen voor een universele ordinaalnotatie, dit als gevolg van zulke zelf-referentiële weergaven als <math>\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}</math>. Grotere en grotere ordinalen kunnen worden gedefinieerd, maar ze worden steeds moeilijker te beschrijven. Elke ordinaal kan worden omgezet in een [[topologische ruimte]] door de ordinaal uit te rusten met een [[ordetopologie]]; deze topologie is slechts [[dan en slechts dan als\|dan en slechts dan]] [[discrete topologie\|discreet]] als de ordinaal tevens een [[telbaar kardinaalgetal]] is, wat wil zeggen voor de meeste ω. Een [[deelverzameling]] van ω + 1 is [[open verzameling\|open]] in de ordetopologie dan en slechts dan als deze deelverzameling [[cofiniet]] is of wanneer element ω er zelf geen deel van uitmaakt. Regel 26: Een ordinaal is een welgeordende verzameling <math>(X,\leq)</math> zo dat <math>a = X_a </math> voor alle <math>a</math> in <math>X</math>, dus een welgeordende verzameling waarvan ieder element zijn eigen beginsegment is. Merk op dat een ordinaal opgebouwd is uit steeds groter beginsegmenten, die steeds in elkaar bevat zijn. Zodoende zijn de eerste eindige ordinaalgetallen al volgt: (waarbij ∅ staat voor de [[lege verzameling]]) 0 = ∅ * 1 = {0} = {∅} Regel 36: ==Successor- en limietordinalen== Gegeven een ordinaal <math>\alpha</math> kan altijd een ~~nieuw~~nieuwe ordinaal <math>\alpha \cup \{\alpha\}</math> gevonden worden. Dit is de ''eerstvolgende'' ordinaal, en wordt ''successorordinaal'' genoemd, en genoteerd met <math>\alpha + 1</math>. Ordinalen die niet een opvolger van een ordinaal zijn, worden ''limietordinalen'' genoemd. Een limietordinaal wordt gegeven door het supremum van de verzameling van alle kleinere ordinalen. Een voorbeeld van een limietordinaal is <math>\omega</math>, de ordinaal van de natuurlijke getallen. ==Operaties op ordinalen== Optellen en vermenigvuldigen opvan ordinalen is als volgt gedefinieerd: *Optellen van 2 ordinalen:

Ordinaalgetal: verschil tussen versies