Besselfunctie: verschil tussen versies

30 bytes toegevoegd ,  4 jaar geleden
k
Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix / +appendix/references voor ref(s)
k (Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix / +appendix/references voor ref(s))
Oplossingen zijn <math>y(x)=J_a(x)</math> en <math>y(x)=Y_a(x)</math>.
 
Voor <math>a\notin \Z</math> zijn <math>J_a</math> en <math>J_{-a}</math> lineair onafhankelijk, zodat voor de algemene oplossing geldt:
:<math>y(x)= c_1J_a(x)+c_2J_{-a}(x)</math>
 
Voor <math>a=n\in \Z</math> is
:<math>J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)</math>,
dus zijn <math>J_n</math> en <math>J_{-n}</math> lineair afhankelijk.
 
Ook is
waarin
:<math>Y_n(x)=\lim_{a\to n}Y_a(x)</math>
dus zijn ook <math>Y_n</math> en <math>Y_{-n}</math> lineair afhankelijk. Wel zijn <math>J_n</math> en <math>Y_n</math> lineair onafhankelijk, zodat in dit geval de algemene oplossing geschreven kan worden als
:<math>y(x)= c_1J_n(x)+c_2Y_n(x)</math>
 
:<math>J_a(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \, \Gamma(k+a+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+a}</math>,
 
die met de [[methode van Frobenius]] afgeleid kan worden<ref name="p360">Abramowitz and Stegun, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm p. 360, 9.1.10].</ref>
 
De besselfuncties voldoen aan de recursieve betrekkingen:
<math>J_{0}(x)\;</math> bereikt haar maximale amplitude in de oorsprong. Naarmate <math>x\;</math> zich verwijdert van de oorsprong neemt de amplitude geleidelijk af om dan uiteindelijk te verdwijnen in het oneindige (<math>x \rightarrow +\infty\;</math>, <math>x \rightarrow -\infty\;</math>).
 
{{Appendix|2=
{{References}}
}}
{{Commonscat|Drum vibration animations}}