[[Hilbertruimte]]n kunnen volledig worden geclassificeerd: voor elke [[kardinaalgetal|kardinaliteit]] van de [[orthonormale basis]] bestaat er een unieke Hilbertruimte "up to"inclusief [[isomorfisme]]n ervan. Aangezien eindig-dimensionale Hilbertruimten binnen het kader van de [[lineaire algebra]] volledig worden begrepen en aangezien [[morfisme]]n van Hilbertruimten altijd kunnen worden opgedeeld in morfismen van ruimten met [[Alef-getal|Alef-nul]] (ℵ<sub>0</sub>) dimensionaliteit, houdt de functionaalanalyse van Hilbertruimten zich voornamelijk bezig met de unieke Hilbertruimte van dimensionaliteit Alefalef-nul en haar morfismen. Een van de open problemen in de functionaalanalyse is het vinden van een bewijs dat elke [[begrensde lineaire operator]] op een Hilbertruimte een gepaste [[invariante deelruimte]] heeft. Vele bijzondere gevallen van dit [[invariante deelruimteprobleem]] zijn al wel bewezen, maar een algemeen bewijs is nog niet gevonden.
