Lineaire transformatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Matrix van een lineaire transformatie (ook wel transformatrix{{Bron?||2016|09|06}}): term transformatrix weg, komt niet voor in mijn collegedictaten |
terug naar laatst betrouwbare versie |
||
Regel 1:
In de [[lineaire algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''lineaire transformatie''' een [[lineaire afbeelding]] van een [[vectorruimte]] naar zichzelf
Een lineaire transformatie kan [[bijectie]]f zijn. In dat geval is de [[Afbeelding_(wiskunde)#Inverse|inverse]] ook een lineaire transformatie.
==Eindigdimensionale geval==
Een lineaire transformatie <math>T:V\to V</math> van een [[Dimensie (lineaire algebra)|''n''-dimensionale]] [[vectorruimte]] <math>V</math> wordt vastgelegd door de beelden <math>T(b_1), \ldots ,T(b_n)</math> van een geordende [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math> (b_1, \ldots ,b_n)</math> van <math>V</math>. Een willekeurige vector <math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i \in V</math> wordt immers afgebeeld op:▼
:<math>T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) </math>.▼
▲Een lineaire transformatie <math>T:V\to V</math> van een [[Dimensie (lineaire algebra)|''n''-dimensionale]] [[vectorruimte]] <math>V</math> wordt ondubbelzinnig vastgelegd door de beelden <math>T(b_1), \ldots ,T(b_n)</math> van een geordende [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math>
▲=== Matrix van een lineaire transformatie ===
Door de keuze van een geordende basis <math>(b_1, \ldots ,b_n)</math> in <math>V</math> wordt een vector <math>x \in V</math> bepaald door de coördinaten <math> \xi_1, \ldots ,\xi_n</math> ten opzichte van deze basis:▼
===Bewijs van de ondubbelzinnigheid van deze representatie===
Was men uitgegaan van een andere geordende basis <math> \{b'_1, \ldots ,b'_n\} \sub V</math>, dan wordt de vector <math>x=\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i</math> afgebeeld op:
:<math>y'=T\left(\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi'_i T(b'_i) </math>.
Deze beelden zijn dezelfde, want de eerstgenoemde basis kan uitgedrukt worden in de tweede:
:<math>b_i=\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j</math>.
en ook is:
:<math>x=\sum_{j=1}^n \xi'_j b'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i b_i =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} b'_j </math>,
dus:
:<math>\xi'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij}</math>,
zodat:
:<math>y'=\sum_{j=1}^n \xi'_j T(b'_j) =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} T(b'_j) =</math>
:::<math>\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j\right) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(b_i\right) =y</math>.
=== Matrix van een lineaire transformatie===
▲Door de keuze van een geordende basis <math>
:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i </math>.
Regel 32 ⟶ 52:
Uitgeschreven ziet dat er zo uit:
:<math>
\begin{bmatrix}
\eta_{1} \\
\eta_{2} \\
\vdots \\
\eta_{n}
\end{bmatrix}
=
Regel 47 ⟶ 67:
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\xi_{1} \\
\xi_{2} \\
\vdots \\
\xi_{n}
\end{bmatrix}
</math>,
Regel 57 ⟶ 77:
====Voorbeeld====
De lineaire transformatie <math>T</math> van de vectorruimte <math>\R^2</math> beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is <math>T</math> geheel vastgelegd. De matrix van <math>T</math> is dan
:<math>
\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
</math>.
Regel 69 ⟶ 89:
\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
22 \\
18
\end{bmatrix}
</math>.
Regel 128 ⟶ 148:
==Bewerkingen met lineaire transformaties==
===Som van twee lineaire transformaties===
Als <math>T_1</math> en <math>T_2</math> lineaire transformaties zijn van een vectorruimte <math>V</math>, is hun som <math>T_1+T_2</math>, die gedefinieerd is door
:<math> \forall v \in V : (T_1+T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v) </math>,
Regel 135 ⟶ 155:
Eindigdimensionale geval:
Ten opzichte van een basis van <math>V</math> is de matrix <math>A</math> van <math>T_1+T_2</math> gelijk aan de som <math>A_1+A_2</math> van de matrices <math>A_1</math> en <math>A_2</math> van respectievelijk <math>T_1</math> en <math>T_2</math>:
:<math>A=A_1+A_2</math>.
===Product van een lineaire transformatie met een reëel getal ===
Als <math>T_1</math> een lineaire transformaties is van een vectorruimte <math>V</math> en en <math>\alpha</math> een reëel getal, dan is het scalaire product <math>\alpha T_1</math>, dat gedefinieerd is door
:<math> \forall v \in V : (\alpha T_1)(v) = \alpha (T_1(v))</math>,
Regel 150 ⟶ 170:
===Samenstelling van lineaire transformaties===
Als <math>T_1</math> en <math>T_2</math> lineaire transformaties zijn van een vectorruimte <math>V</math>, dan hun samenstelling <math>T_1\circ T_2</math>, die gedefinieerd is door
:<math> \forall v \in V : (T_1\circ T_2)(v) = T_1(T_2(v)) </math>,
Regel 175 ⟶ 195:
Als een lineaire transformatie t van een vectorruimte V een basis van V transformeert in een basis van V,
dan spreekt men van een lineaire [[permutatie]] van V. Onder invloed van t worden verschillende vectoren afgebeeld op verschillende vectoren en [[Lineaire onafhankelijkheid|lineair onafhankelijke]] vectoren op lineair onafhankelijke vectoren.
<br
Eindigdimensionale geval:
De matrix A van een lineaire permutatie is [[Rang (lineaire algebra)#Reguliere matrix|regulier]] en de kern bestaat enkel uit de nulvector.
[[Categorie:Lineaire algebra]]
| |||