Een lineaire transformatie <math>T:V\to V</math> van een [[Dimensie (lineaire algebra)|''n''-dimensionale]] [[vectorruimte]] <math>V</math> wordt vastgelegd door de beelden <math>T(b_1), \ldots ,T(b_n)</math> van een geordende [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math> (b_1, \ldots ,b_n)</math> van <math>V</math>. Een willekeurige vector <math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i \in V</math> wordt immers afgebeeld op:
:<math>y=T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) </math>.
===Bewijs van de ondubbelzinnigheid van deze representatie===
Was men uitgegaan van een andere geordende basis <math>(b'_1, \ldots ,b'_n)</math> van <math>V</math>, dan wordt de vector <math>x=\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i</math> afgebeeld op:
:<math>y'=T\left(\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi'_i T(b'_i) </math>.
Deze beelden zijn dezelfde, want de eerstgenoemde basis kan uitgedrukt worden in de tweede:
:<math>b_i=\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j</math>.
en ook is:
:<math>x=\sum_{j=1}^n \xi'_j b'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i b_i =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} b'_j </math>,
dus:
:<math>\xi'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij}</math>,
zodat:
:<math>y'=\sum_{j=1}^n \xi'_j T(b'_j) =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} T(b'_j) =</math>
:::<math>\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j\right) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(b_i\right) =y</math>.
=== Matrix van een lineaire transformatie (ook wel transformatrix{{Bron?||2016|09|06}})===
|