|
Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''reeks''' is een uitbreiding van de [[optelling]] van [[rationale getallen]], [[reële getallen]], [[complexe getallen]], [[functie (wiskunde)|functie]]s, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] van de vorm
'''Reeks''' is in de wiskunde de naam voor een aantal vormen ter aanduiding van wat men noemt  'de [[sommatie|som]] (somwaarde) van een [[rij (wiskunde)|rij]] met oneindig veel termen' <ref>Bij de gewone optelling gaat het om het vinden van een zo eenvoudig mogelijke weergave voor het totaal van de gegeven termen. Bij óneindig veel termen moet eerst vastgelegd wat met 'de som van alle termen'  wordt bedoeld, want naast de gangbare ''partieelsommenlimiet'' zijn er nog vele andere mogelijkheden. Voor het 'uitrekenen'  van zo'n somwaarde (het herleiden tot een gesloten vorm, zo dat al mogelijk is) zijn geheel andere methoden nodig dan in het eindige geval.</ref>.   Voorbeelden van reeksen zijn (bij een gegeven rij  <math>a_1, a_2, a_3, {\cdot}{\cdot}{\cdot}</math>)  de formulevormen:
:<math>a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>
Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eeneenduidig verband tussen de [[rij (wiskunde)|rij]]en termen uit die ruimte, en de reeksen.
:<math>a_1{+}a_2{+}a_3{+}{\cdot}{\cdot}{\cdot} \quad \ </math>en<math> \quad \ \ \sum_{i=1}^\infty</math><math> a_i</math>  .
De eventuele uitkomst <math>S</math> van de [[sommatie]] wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus <math>S = a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>.
Een tweede, grotendeels historische<ref>In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.</ref><ref>P.J.G. Vredenduin, 1959-'60, ''Vakblad Euclides'' [http://vakbladeuclides.nl/archief/pdf/35_1959-60_02.pdf pag. 57-59: jrg. 35, nr. 2, p. 57-59] Citaten: "In het Nederlandse V.H.M.O. wordt tussen rijen en reeksen doorgaans geen duidelijk onderscheid gemaakt."     "....de verwarring waar thans het Hoger Onderwijs over klaagt, dreigt dan zijn intrede bij het V.H.M.O. te doen."     "Dit voorstel is simpel en radicaal: gebruik de term ''reeks'' niet......De woorden ''convergent'' en ''divergent'' zijn nu overbodig geworden."</ref><ref>P.G.J. Vredenduin, ''Rij en reeks'', 1967, Euclides 43-1 [http://vakbladeuclides.nl/archief/pdf/43_1967-68_01.pdf pp.22-23]: "De moeilijkheid, waarmee de nomenclatuurcommissie zat, is het geven van een verantwoorde definitie van een reeks. Van der Blij omzeilt dit op handige wijze. Hij definieert helemaal niet, wat een reeks is. Wat hij definieert is alleen:  a. convergente reeks,  b. som van een convergente reeks,  c. divergente reeks."</ref>, betekenis van '''reeks''' valt samen met die van ''rij''  (afbeelding op de natuurlijke getallen).
Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term ''reeks'' gebruikt, bijvoorbeeld ''rekenkundige reeks'' bij de [[Rekenkundige_rij#Afleiding_van_de_somformule|sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij]].
Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.<ref>In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.</ref>
== Definitie ==
Voor iedere [[rij (wiskunde)|rij]] <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde '''reeks'''  eengedefinieerd aanduidingals zoalsde formele  som <math>\scriptstyle\sum_{n=1}^{\infty}</math><math>a_n \ </math> of <math> \ a_1{+}a_2{+}a_3{+}{\cdot}{\cdot}{\cdot}</math> ,  (uitdrukking die deeen (eventuele)som limiet van de rij   <math>(a_1{+}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{+}a_nvoorstelt)_{n =1,2,{\cdot}{\cdot}{\cdot}}</math>  voorstelt. <ref>E.J. Dijksterhuis, 1926-'27, Boekbespreking in Bijvoegsel van ... onderwijsbelangen
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots </math>.<ref>Zie bijvoorbeeld: {{Aut|Yu.A. Kuznetsov}} & {{Aut|J. Stienstra}} (2009) '''Fouriertheorie''', pagina 9, regel 13 [http://www.staff.science.uu.nl/~kouzn101/FT/Fourier2009.pdf PDF].</ref>
[http://vakbladeuclides.nl/archief/pdf/03_1926-27_04.pdf jaargang 3, afl. 3-4, p.98-101]
(gecomprimeerd citaat:) ''het beschouwen van een oneindige reeks als een uitdrukking in plaats van als een rij, lijkt minder gewenscht.''</ref><ref>H.N. Pot, ''Wat reeksen zijn, is niet te zeggen'', [http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2008-09-4-285.pdf NAW 2008]</ref><ref>A.C.M. van Rooij, ''Wat reeksen zijn, is niet te zeggen'', [http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2009-10-1-062.pdf NAW 2009]: "In plaats van convergente reeksen heb je dan sommeerbare rijen, en alles is in orde. Een bonus is dat je het woord ‘convergent’ niet in twee betekenissen gebruikt."</ref><br>
MetDe ''termenelementen van eende reeks''rij  wordenzijn de termen (ook: 'elementen') van de in de reeksvorm aangeduide rij bedoeldreeks.
== Partieelsommen ==
:<math>s_n=a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n =\sum_{i=1}^n a_i</math>
DeOok formulevormende  limiet <math>\scriptstyle\sum_{n=1}^{\infty}S</math><math>a_n \der </math>partieelsommen, enals <math>deze \bestaat (zie a_1{+}a_2{+}a_3{+}{\cdot}{\cdot}{\cdot}</math>onder),  wordt wordenop ookdie gebruikttwee termanieren aanduiding van de partieelsommenrij van rij <math>a</math>aangeduid. Welk van beide begrippen, de auteurreeks bedoelt -ofwel de partieelsommenrij oflimietwaarde, de limietwaardeauteur daarvan -bedoelt, moet uit de context blijken. <br>
===Alternatieve definitie van 'Reeks'===
Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij <math>(a_n)</math> en de rij <math>(s_n)</math> van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld <math>( \, (a_n,s_n) \, )_{n=1}^\infty</math>.
De vorm-betekenis van 'reeks'  kan ook omschreven als:  de combinatie van aanduidingen voor een rij  en voor de afbeelding die aan een rij z'n partieelsommenlimiet toevoegt  <ref>Nauw aansluitend bij de definitiezin in [http://mathworld.wolfram.com/Series.html ''WolframMathWorld'']:  "A series is an infinite ordered set of terms combined together by the addition operator."</ref>.
== Convergentie ==
| 