Reeks (wiskunde): verschil tussen versies

Voor iedere [[rij (wiskunde)|rij]] <math>(a_n)_{n=M1}^\infty</math> (met ''M'' eindig) in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde '''reeks''' gedefinieerd als de formele som (uitdrukking die een som voorstelt)

:<math>\sum_{n=M1}^{\infty}a_n = a_Ma_1 + a_{M+1}a_2 + a_{M+2}a_3 + \ldots </math>.{{Bron?||2016|02|22}}

Met de rij <math>(a_n)_{n=M1}^\infty</math> (met M eindig) associeert men de rij <math>(S_n)_{n=M1}^\infty</math> der ''partieelsommen'' of ''partiële sommen'', met

:<math>S_n=a_Ma_1 +a_{M a_2 +1}+a_{M+2} a_3 + \ldots +a_{M+n} a_n =\sum_{i=M1}^na_in a_i</math>

Een reeks heet ''[[convergentie (wiskunde)|convergent]]'' als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet <math>sS</math>. In dat geval noemt men <math>sS</math> de ''som'' van de reeks:

:<math>sS =\sum_{n=M1}^{\infty} a_n =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=M1}^N a_n.</math>

Als de rij der partieelsommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen <math>a_n</math> convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.