|
In de [[lineaire algebra]] kan menbij met elkeiedere [[vierkante matrix]] eenhet '''karakteristieke polynoom''' associërenworden gedefiniëerd. DezeDit polynoom bevat enkele specifieke kenmerken van de matrix zoals het [[spoorSpoor (lineaire algebra)|spoor]] en de [[determinant]] van de matrix. Het vindt vooral zijn toepassing bij het bepalen van de [[eigenwaardeEigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarden]] van een matrix.
== Definitie ==
Voor een ''n×n''-matrix ''A'' is dehet karakteristieke polynoom ''P<sub>A</sub>'', gedefinieerd door:
:<{{math|P<sub>A</sub>\!\,P_A(\lambdaλ) {{= \det}} (A - \lambdaλ I_n)I<sub>n</mathsub>)}} .
Hierin staat ''det'' voor de [[determinant]] en ''I<sub>n</sub>'' voor de ''n×n''-[[eenheidsmatrix]]. HetMet is''i'' dusen ''j'' de determinantindices van de matrix, diegeldt ontstaat nadat bijwanneer ''Ai'' er ≠''λj'' afgetrokkendat is{{math|P<sub>A</sub>(λ)<sub>i,j</sub>{{=}}A<sub>i,j</sub>}}, vanwanneer de''i''=''j'' elementen op dedat [[hoofddiagonaal]]{{math|P<sub>A</sub>(λ)<sub>i,j</sub>{{=}}A<sub>i,j</sub>-λ}}. Zie ook het voorbeeld verderop in dit artikel.
Stellen we dehet karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de '''karakteristieke vergelijking''':
:<det{{math>\!\,\det |(A - \lambdaλ I_nI<sub>n</sub>) {{=}} 0</math>}}.
DitHierin is det{{math|(A - λ I<sub>n</sub>)}} een veeltermvergelijkingpolynoom van de graad ''n'' in de onbekende[[variabele]] ''λ''. waarvanDe nulpunten van dit polynoom, de oplossingen van de vergelijking zijn de [[eigenwaardeEigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarden]] van ''A'' zijn.
== Eigenschappen ==
In de eigenschappen hieronder is ''A'' een ''n''×''n''-matrix met karakteristiekekarakteristiek polynoom ''P<sub>A</sub>(λ)''.
* De nulpunten van ''P<sub>A''</sub> zijn de eigenwaarden van ''A''.
* De constante term in ''P<sub>A''</sub>(λ) is de determinant van ''A''.
* De coëfficiënt van λ<sup>''n''-1</sup> is het spoor van ''A'', op het teken na indien ''n'' even is.
De laatste twee eigenschappen laten toe ''P<sub>A''</sub>(λ) voor een 2×2-matrix ''A'' te schrijven als:
:λ<sup>2</sup> - sp(''A'')λ + det(''A'') = 0
* [[GelijkvormigheidGelijkvormige (algebra)|Gelijkvormigematrices]] matrices hebben dezelfdehetzelfde karakteristieke polynoom.
* De [[getransponeerde matrix]] heeft dezelfdehetzelfde karakteristieke polynoom als de matrix zelf.
* [[Stelling van Cayley-Hamilton]]: Een matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking; symbolisch: ''P<sub>A''</sub>(''A'') = 0.
== Voorbeeld ==
Beschouw de volgende 2×2-matrix ''A'':
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}</math>
We bepalen dehet karakteristieke polynoom:
:<math>
P_A \left( \lambda \right) = \det \left( {A - \lambda I_n } \right) = \begin{vmatrix}
\end{vmatrix} = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda } \right) - 4 \cdot 0 = \lambda ^2 - 3\lambda + 2
</math>
Uit dehet karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant (2) en het spoor (3) volgens de eerder gegeven eigenschappen.
We zoeken de eigenwaarden als de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 0
</math>
[[Categorie:Lineaire algebra]]
[[Categorie:Veelterm]]
| 