Schrödingervergelijking: verschil tussen versies

66 bytes toegevoegd ,  5 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
{{Zijbalk kwantummechanica}}
 
De '''schrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een [[kwantummechanica|kwantummechanisch]] systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zogenaamde [[golffunctie]] <math>\psi</math> en de mechanische eigenschappen door de [[Hamiltonformalisme|Hamiltoniaan]] <math>H</math> van het systeem, een [[lineaireLineaire operatorafbeelding|operator]] die de totale energie van het systeem voorstelt. Voor een systeem van een enkel deeltje luidt de schrödingervergelijking:
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t)</math>.
 
 
== Kwantisatie van fysische eigenschappen ==
Elke meetbare fysische grootheid van het systeem correspondeert met een bepaalde [[Lineaire afbeelding|lineaire operator]] <math>\hat{O}</math>, die een bewerking op de golffunctie definieert. Als de golffunctie een [[eigenfunctie]] is van de operator, dan heeft die operator het effect van een vermenigvuldiging van die eigenfunctie met de bijbehorende [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] van de fysische grootheid. Dus als de golffunctie een eigenfunctie is van de operator <math>\hat{O}</math>, is:
:<math>\hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t)</math>.
 
De fysische grootheid van het systeem dat verkeert in de toestand die door de eigenfunctie beschreven wordt, heeft dan de bij meting nauwkeurig voorspelbare eigenwaarde <math>o_e</math>. Een operator kan meer dan één eigenfunctie hebben die een (quasi-)stabiele toestand van het systeem beschrijft; bij elke eigenfunctie hoort een eigenwaarde. Het systeem kan sprongsgewijs overgaan van de ene stabiele toestand in de andere, waarbij dus de fysische grootheid sprongsgewijs meeverandert. Dit wordt ''kwantisatie'' genoemd, waarmee de kwantummechanica zich onderscheidt van de klassieke fysica.
 
Verkeert het systeem niet in een toestand die met een eigenfunctie van de operator beschreven wordt, dan is de meetwaarde van <math>o</math> niet nauwkeurig voorspelbaar, maar heeft een [[kansverdeling]] met een eindige breedte. De [[Verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]] is dan te berekenen volgens:
:<math>\int \psi^*(\vec{r},t) \hat{O} \psi(\vec{r},t) \,\mathrm{d}^3 \vec{r}</math>,
 
waarin <math>\psi^*(\vec{r},t)</math> de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t)</math>
 
Een voorbeeld om dit te verduidelijken: een meetbare waarde van het eendeeltjessysteem in een eendimensionale ruimte is de [[impulsImpuls (natuurkunde)|impuls]] van het deeltje. De hiermee corresponderende [[impulsoperator]] is <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>. Dus gegeven de golffunctie <math>\psi(x,t)</math>, is de verwachtingswaarde van de impuls gelijk aan:
:<math>p = \int \psi^*(x,t) \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \psi(x,t)\, \mathrm{d}x </math>
 
:<math>T\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi</math>
 
waarin <math>\nabla^2</math> de [[LaplaceoperatorLaplace-operator]] voorstelt. In de golfmechanica spelen dergelijke operatoren een grote rol. Zij stellen ons namelijk in staat uit een golffunctie, die we ons als een soort trillingspatroon kunnen voorstellen, bepaalde eigenschappen te berekenen; in dit geval de kinetische energie.
 
De operator <math>T</math> werd oorspronkelijk alleen op golven toegepast. Het dualiteitsprincipe, dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn, is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door <math>T</math> in de algemene uitdrukking voor de energie in te vullen.
<math>V(x,y,z)</math> wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern, maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies <math>\psi</math> er aan de schrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit door middel van operatoren allerlei eigenschappen berekend worden.
 
De golffuncties, die resulteren uit deze berekeningen, geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar kunnen wel worden geïnterpreteerd als informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats ([[orbitaalOrbitaal|orbitalen]]) in het atoom te treffen.
 
== Tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking voor één deeltje ==