Axiomatische verzamelingenleer: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Haakje te weinig met AWB |
|||
Regel 6:
Om tegenspraken te voorkomen stelde [[Bertrand Russell]] een ''gelaagde'' opbouw van de verzamelingenleer voor. Tussen 1903-1908 ontwikkelde hij zijn [[typentheorie]], die in 1910 ook als basis van de ''[[Principia Mathematica]]'' diende. In dit werk is een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] steeds van een hoger type dan haar [[element (wiskunde)|element]]en. Uitspraken als "deze verzameling bevat zichzelf als element", waarop de [[Russellparadox]] was gebaseerd, laten zich in deze typentheorie niet eens formuleren. De typentheorie probeert door middel van een beperkte syntaxis van toelaatbare uitspraken over klassen de gerezen problemen op te lossen. Bij Russell zelf heeft de typentheorie nog geen axiomatische vorm aangenomen, maar later werd de typentheorie tot een relatief gecompliceerde axiomatische theorie uitgebouwd. Dat deze axiomatische theorie vrij van tegenspraken was, werd door [[Paul Lorenzen]] aangetoond. De vrijheid van tegenspraken van de op de [[typentheorie]] gebaseerde ''Principia Mathematica'' is, op grond van de [[onvolledigheidsstellingen van Gödel]], echter niet [[bewijs (wiskunde)|bewijsbaar]]. De typentheorie in de ''Principia Mathematica'' was in de [[logica]] lange tijd maatgevend, maar kon zich in de praktijk van de wiskunde niet doorzetten, enerzijds vanwege de complexiteit, en anderzijds omdat zij niet toereikend was. De typentheorie is namelijk onvoldoende om [[Georg Cantor|Cantors]] verzamelingenleer en de wiskunde met taalkundige middelen te onderbouwen.
In de wiskundige praktijk van de twintigste eeuw trok de door [[Ernst Zermelo]] geïnitieerde vorm van de axiomatische verzamelingenleer uiteindelijk aan het langste eind. De [[Zermelo-verzamelingenleer]] van 1907 is zowel het fundament voor de [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer]] (ZFC) als ook voor alternatieve axiomasystemen. ZFC ontstond door het "vervangingsaxioma" van [[Adolf Abraham Halevi Fraenkel|Abraham Fraenkel]] uit 1921 en Zermelos "grondvestigingsaxioma" van 1930 te combineren. De oorspronkelijke, in verbale vorm gegoten verzamelingsaxioma's van Zermelo-Fraenkel werden onder invloed van het [[programma van Hilbert]], dat een fundamentele, tegenspraakvrij axiomasysteem voor de wiskunde voorstond, later strikt geformaliseerd. De eerste formalisering (ZFC zonder het "grondvestigingsaxioma") door [[Thoralf Skolem]] stamt uit het jaar 1929<ref>{{de}} {{aut|[[Thoralf Skolem]]}}, Über einige Grundlagenfragen der Mathematik (1929) (Over enkele fundamentele vragen in de wiskunde (1929), Selected works in logic (geselecteerde werken in de logica)), Oslo, 1970, pagina's 227-273</ref> en gaf de impuls voor de moderne [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer|predicatenlogische ZFC-axiomasystemen]]. In ZFC konden tot nu toe geen tegenspraken meer worden afgeleid. Aantoonbaar tegenspraakvrij is echter slechts de algemene verzamelingenleer, dat wil zeggen naar Fraenkel de ZFC-verzamelingenleer met uitsluiting van het [[oneindigheidsaxioma]],<ref>{{de}} {{aut|[[Adolf Abraham Halevi Fraenkel|Abraham Fraenkel]]}}, Axiomatische Theorie der geordneten Mengen (Axiomatische theorie van geordende verzamelingen), [[Journal of Pure and Applied Mathematics]], band 155, 1926, pag 129-158, met name blz. 132f</ref> dus de verzamelingenleer met [[eindige verzameling]]en, in 1930 een voorbeeld voor Zermelo<ref>{{de}} {{aut|[[Ernst Zermelo]]}}, Grenzzahlen und Mengenbereiche (Grensgetallen en verzamelingbereiken), [[Fundamenta Mathematicae]], Band 16, 1930, pagina's 29-47, met name blz. 44</ref>. Het programma van Hilbert leende zich echter niet om uitgevoerd te worden voor de volledige Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer, aangezien de [[onvolledigheidsstellingen van Gödel]] ook op Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer van toepassing zijn, zodat tegenspraakvrijheid binnen het kader van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer onbewijsbaar blijft.
De tegenspraakvrijheid relatief ten opzichte van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer is ook voor vele uitbreidingen, veralgemeningen en aanpassingen daarvan veilig gesteld. Daar hoort ook de verzamelingenleer van [[John von Neumann]] uit 1925 bij. Deze is op het [[functie (wiskunde)|functie]]begrip in plaats van het verzamelingenbegrip gebaseerd en werkt niet alleen met verzamelingen, maar ook met [[klasse (verzamelingenleer)|echte klassen]]<ref>{{de}} {{aut|[[John von Neumann]]}}, Eine Axiomatisierung der Mengenlehre (Een axiomatisering van de verzamelingenleer), [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]], band 154, 1925, pagina's 219-240</ref>. Deze verzamelingenleer was het uitgangspunt voor de [[Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer]], die ZFC veralgemeent voor [[klasse (verzamelingenleer)|klasse]]n en die met een eindig aantal axioma's uitkomt, dit terwijl ZFC axiomaschemata benodigd. Nog algemener is de [[Ackermann-verzamelingenleer]] uit 1955, waarin [[Wilhelm Ackermann]] probeert om de verzamelingdefinities van [[Georg Cantor]] in een axiomatische vorm te gieten. In 1974 bedde [[Arnold Oberschelp]] ZFC in een algemene axiomatische [[klasselogica]] in met als resultaat een verzamelingenleer die een comfortabele, syntactisch correcte weergave van om het even welke klassenterminologie toestaat.
| |||