Differentieerbaarheid: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Differentieerbare functie: afgeleide functie |
k http://taaladvies.net/taal/advies/vraag/238/en_een_van_de/ met AWB |
||
Regel 1:
[[Bestand:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|170px|Een differentieerbare functie]]
Binnen de tegenwoordige [[wiskunde]] is '''differentieerbaarheid''' een van de grondbegrippen, met name binnen de [[analyse (wiskunde)|analyse]]. Ruwweg noemt men een [[functie (wiskunde)|functie]] '''differentieerbaar''' als ze een [[afgeleide]] heeft. De term ''afleidbaar'' is een [[synoniem (taalkunde)|synoniem]]. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de [[natuurkunde]], is [[Isaac Newton]].
==Differentieerbaar in een punt==
Regel 13:
==Differentieerbare functie==
Een functie ''f'' die differentieerbaar is in ''elk'' punt <math>x \in D</math> is een '''differentieerbare functie'''.
De functie '' f' '' die in elk punt <math>x \in D</math> de afgeleide waarde van <math>x</math> als functiewaarde heeft, heet de '''afgeleide functie''' van ''f''.
Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling <math>D\subset\mathbb{C}</math> heet ook wel (complex) ''analytisch'' of ''[[holomorfe functie|holomorf]]''. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de [[complexe analyse]].
==Voorbeelden==
De functie ''f'': <math>x \to |x|</math> met domein <math>\R</math> is niet differentieerbaar, want de afgeleide in ''x'' = 0 bestaat niet.
De functie ''g'': <math>x \to x^{2}</math> met domein <math>\R</math> is wel differentieerbaar. De afgeleide functie van ''g'' is ''g' '': <math>x \to 2x</math>
Regel 57:
:<math>\lim_{\left\|\Delta x\right\|\to 0}\frac{\left\|f(x+\Delta x)-f(x)-A(\Delta x)\right\|}{\left\|\Delta x\right\|}=0.</math>
Hierbij is de functie <math>\left\| \cdot \right\| : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> de bekende [[norm (wiskunde)#Voorbeelden|Euclidische norm]]. Verder is <math>\Delta x</math> een vector in <math>\mathbb{R}^m</math>, waarvan in de limiet de [[norm (wiskunde)|norm]] willekeurig klein gemaakt wordt.
De lineaire afbeelding ''A'' heet de ''(totale) afgeleide'' van ''f'' in de vector ''x.''
Regel 66:
:<math>A_i^j={\partial f_i\over\partial x_j}(x) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, j = 1, ..., m; \, \, i = 1, ..., n </math>
[[Categorie:
| |||