15- en 290-stelling: verschil tussen versies

116 bytes verwijderd ,  5 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
(Linkonderhoud)
 
De bovengrens van 15 is optimaal, omdat er kwadratische vormen, zoals
:<math>w^2+2x^2+5y^2+5z^2</math>
 
:''w''<sup>2</sup> + 2''x''<sup>2</sup> +5''y''<sup>2</sup> +5''z''<sup>2</sup>,
 
zijn die alle positieve gehele getallen ongelijk aan 15 representeren.
 
Een kwadratische vorm die alle positieve gehele getallen representeert, wordt soms '''universeel''' genoemd. Zo is
:<math>w^2+x^2+y^2+z^2</math>
 
:''w''<sup>2</sup>+''x''<sup>2</sup>+ ''y''<sup>2</sup>+''z''<sup>2</sup>
 
universeel, omdat ieder positief geheel getal als som van vier kwadraten kan worden geschreven volgens de [[vier-kwadratenstelling van Lagrange]]. Deze [[stelling (wiskunde)|stelling]] wordt in het bewijs voor de 15-stelling gebruikt als hulpstelling.
De 15-stelling kan worden gepreciseerd door niet te eisen dat alle positieve gehele getallen tot en met 15 worden gerepresenteerd, maar alleen de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 en 15. Voor elk van deze getallen bestaan er kwadratische vormen die alle positieve gehele getallen representeren met uitzondering van dat getal.
 
De eis van een geheeltallige matrix kan afgezwakt worden tot de eis dat alle coëfficiënten geheeltallig zijn. Bijvoorbeeld ''x'':<supmath>x^2</sup> +''xy'' +''y''<sup>^2</supmath> heeft geheeltallige coëfficiënten, maar geen geheeltallige matrix.
 
==290-stelling==
31.846

bewerkingen