Lemma van Gauss (getaltheorie): verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
In de [[getaltheorie]] geeft het '''lemma van Gauss''' een voorwaarde voor een [[geheel getal]] om een [[kwadratisch residu]] te zijn. Hoewel het lemma geen rol speelt in berekeningen, heeft het lemma theoretisch belang, aangezien het voorkomt in een aantal bewijzen van [[kwadratische reciprociteit]]
 
Het lemma van Gauss maakteverscheen zijnvoor eerstehet opwachtingeerst in [[Carl Friedrich Gauss]] zijn' derde bewijs van [[kwadratische reciprociteit]] (1808)<ref>{{de}} {{aut|Carl Friedrich Gauss}}, "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes"; blz. 458-462 uit ''Untersuchungen uber Höhere Arithmetik''</ref>. In enzijn hijvijfde beweesbewijs hetuit opnieuw1818 inbewees zijnGauss vijfdehet bewijslemma opnieuw (1818) <ref>{{de}} {{aut|Carl Friedrich Gauss}}, "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundalmentalsatzes in der Lehre von den quadratischen Reste";. blz. 496-501 uit ''Untersuchungen uber Höhere Arithmetik''</ref>
 
== Lemma ==
== Formulering van het lemma ==
Laat ''a''<math>p>2</math> vooreen enigpriemgetal onevenzijn priemgetalen ''p''<math>a</math> een [[geheel getal zijn]] dat [[relatief priem]] is aan ''<math>p''</math>.
 
enBeschouw hunvan de gehele getallen <math>a, 2a, 3a, \dots, \tfrac{p-1}{2}a</math> de kleinste positieve residuen modulo ''<math>p''</math>. Deze residuen zijn alle verschillend; er zijn dus <math>(''p''−1-1)/2</math> residuen.
Beschouw de [[geheel getal|gehele getallen]]
:<math>a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a</math>
 
Laat ''n''Voor het aantal<math>n</math> van deze residuen zijn datdie groter iszijn dan ''<math>p''/2. Dan</math>, geldt dat :
en hun kleinste positieve residuen modulo ''p''. Deze residuen zijn alle verschillend; er zijn dus (''p''−1)/2 residuen.
:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n</math>.
 
Daarin is <math>\left(\tfrac{a}{p}\right) </math> het [[Legendre-symbool]].
Laat ''n'' het aantal van deze residuen zijn dat groter is dan ''p''/2. Dan geldt dat
:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n</math>
 
waar (''a''/''p'') het [[Legendre-symbool]] is.
 
==Voetnoten==