Moleculaire symmetrie: verschil tussen versies

2 bytes toegevoegd ,  6 jaar geleden
Coordinaat => coördinaat (n.a.v. Wikipedia:Wikiproject/SpellingCheck) Help mee!
(Coordinaat => coördinaat (n.a.v. Wikipedia:Wikiproject/SpellingCheck) Help mee!)
Transformatiematrices zijn vierkante matrices. Een belangrijke eigenschap van een [[vierkante matrix]] is zijn [[Spoor (lineaire algebra)|spoor]], dit is de som van de diagonaalelementen (de matrixelementen op de [[hoofddiagonaal]]). Het spoor wordt in de groepentheorie ook karakter genoemd. De karakters worden in een [[karaktertabel]] samengevat, geordend naar symmetrie-elementen (de kolommen) en representaties (de rijen). Het algemene symbool voor representaties is {{Math|Γ}}<sub>i</sub>.
 
Als voorbeeld kan [[water]] gelden, dat een [[gebogen moleculaire geometrie]] bezit en behoort tot de puntgroep C<sub>2v</sub>. Deze puntgroep heeft als vier symmetrie-elementen de eenheid, de C<sub>2</sub>-rotatie-as en 2 spiegelvlakken. De groeptheoretische beschrijving begint bij een set basisfuncties, bijvoorbeeld de coordinatencoördinaten x, y en z van het symmetriepunt (het zuurstofatoom). Hierbij behoren vier 3x3 transformatiematrices. De sporen van deze vier matrices vormen een reducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub> van de puntgroep C<sub>2v</sub>. Alle symmetrie-elementen met hun bijbehorende irreducibele representaties worden samengevat in een karaktertabel:
 
{| align="center" class="wikitable" border="1" width="50%"
Deze tabel bevat ook de 4 irreducibele representaties van de puntgroep C<sub>2v</sub>. In dit voorbeeld behoort de vector (x, y, z) bij de representatie {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub>. Te zien is dat {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub>={{Math|Γ}}<sub>1</sub> + {{Math|Γ}}<sub>2</sub> + {{Math|Γ}}<sub>3</sub>.
 
Bekijkt men een enkele basisfunctie, bijvoorbeeld de coordinaatcoördinaat x, dan is Ex = x, C<sub>2</sub>x = -x, σ<sub>v</sub>(xz)x = x en σ<sub>v</sub>'(yz)x = -x, karakters 1, -1, 1, -1, zodat x behoort bij de representatie {{Math|Γ}}<sub>3</sub>. Op dezelfde wijze vindt men dat y behoort bij {{Math|Γ}}<sub>2</sub> en z behoort tot {{Math|Γ}}<sub>1</sub>.
 
Bekijkt men een andere set basisfuncties, bijvoorbeeld de rotaties R<sub>x</sub>, R<sub>y</sub> en R<sub>z</sub> respectivelijk om de x, y en z-as, dan is ER<sub>x</sub> = R<sub>x</sub>, C<sub>2</sub>R<sub>x</sub> = -R<sub>x</sub>, σ<sub>v</sub>(xz)R<sub>x</sub> = R<sub>x</sub> en σ<sub>v</sub>'(yz)R<sub>x</sub> = -R<sub>x</sub>, zodat R<sub>x</sub> behoort bij de representatie {{Math|Γ}}<sub>2</sub>. Op dezelfde wijze vindt men dat R<sub>y</sub> behoort bij {{Math|Γ}}<sub>3</sub> en z behoort bij {{Math|Γ}}<sub>4</sub>.
22.829

bewerkingen