|
[[Afbeelding:Isométries du triangle.jpg|thumb|300px|De alternerende groep ''A''<sub>3</sub> op 3 elementen kan worden gemodelleerd als de rotatiesymmetrieën van een gelijkzijdige driehoek. De spiegelingen ten opzichte van de rode assen zijn de oneven elementen van ''S''<sub>3</sub>]]
In de [[groepentheorie]], een tak van de [[wiskunde]], onderscheidt menis de '''alternerende groep op n elementen''', genoteerd metals het<math>\mathcal{A}_n</math>, de [[symboolOndergroep (wiskunde)|ondergroep]] van de [[symmetrische groep]] <math>\mathcal{AS}_n</math> die bestaat uit de even [[permutatie]]s.
De symmetrische groep <math>\mathcal{S}_n</math> bestaat uit alle permutaties van een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van <math>n</math> verschillende elementen. De [[Samengestelde relatie|samenstelling van permutaties]] is de [[groepsbewerking|bewerking]].
Zij <math>\mathcal{S}_n</math> de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle [[permutatie]]s van een [[Rij (wiskunde)|rij]] met ''n'' plaatsen. Deze ''n'' bepaalt de ''n'' in de notatie <math>\mathcal{A}_n</math>. Met de [[Samengestelde relatie|samenstelling van permutaties]] als [[groepsbewerking|bewerking]] wordt <math>\mathcal{S}_n</math> een [[groep (wiskunde)|groep]], genaamd de [[symmetrische groep]]. Deze groep voldoet aan de eigenschappen nodig voor een groep. Twee permutaties, de een na de ander uitgevoerd, vormen ook een permutatie, en de omgekeerde relatie van een permutatie is eveneens een permutatie. De samenstelling van relaties, en dus ook van permutaties, is [[associativiteit (wiskunde)|associatief]]. De identieke permutatie fungeert als [[neutraal element]].
Elk element van <math>\mathcal{S}_n</math> kan geschreven worden als een samenstelling van een eindig aantal verwisselingenpaarsverwisselingen (permutaties die slechts de waarde op twee verschillende plaatsen veranderen). Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de [[pariteit]] van het aantal verwisselingen is wel onveranderlijk. Een [[even]] permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een oneven permutatie is een samenstelling van een[[ oneven]] aantal verwisselingen. De identieke permutatie is even. Een verwisseling is per definitie oneven.
De alternerende groep <math>\mathcal{A}_n</math> is de [[Ondergroep (wiskunde)|ondergroep]] van <math>\mathcal{S}_n</math> die bestaat uit de even permutaties, dit is de definitie van de alternerende groep.
In de groepen met meer elementen dan alleen maar de identiteit, dat is met ''<math>n'' > 1</math>, bevat <math>\mathcal{A}_n</math> precies de helft van het aantal [[element (wiskunde)|element]]en van <math>\mathcal{S}_n</math>, dus <math>n!\over2</math> (zie [[faculteit (wiskunde)|faculteit]]).
Zo is <math>\mathcal{A}_4</math> is bijvoorbeeld isomorf met de [[symmetriegroep]] van de [[Viervlak|tetraëder]].
Voor <math>n\geq 4</math> is <math>\mathcal{A}_n</math> niet [[Abelse groep|abels]].
[[Categorie:Groepentheorie]]
| 