|
In de [[wiskunde]] is het '''vermoeden van Mertens''' een bewering over het asymptotisch gedrag van eende [[mertensfunctie]]. Het vermoeden is genoemd naar [[Franz Mertens]], die in [[1897]] zijn vermoeden uitsprak. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest, zou daarmee bepaaldeook functiede als[[Riemann-hypothese]] haarzijn argument[[bewijs toeneemt(wiskunde)|bewezen]].
In [[1897]] sprak [[Franz Mertens]] zijn vermoeden van Mertens uit. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest zou tegelijk ook de [[Riemann-hypothese]] zijn [[bewijs (wiskunde)|bewezen]].
== Definitie ==
Als wij inIn de [[getaltheorie]] is de [[Mertensfunctie]] definiërengedefinieerd als
:<math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math>
waarwaarin μ(k) de [[Möbiusfunctie]] is,. danHet luidt het '''vermoeden van Mertens''' luidt dat voor alle ''<math>n'' > 1</math> geldt dat
:<math>\left| M(n) \right| < \sqrt { n }.\,</math>
== Weerlegging ==
In 1985 weerlegden [[Andrew Odlyzko]] en [[Herman te Riele]] het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het eerstekleinste argument voor een [[tegenvoorbeeld]] kleiner moet zijn dan <math>\exp(3 {, }21 x\times 10 <sup>^{64 })</ supmath> ) (Pintz 1987), maar groter dan 10< supmath> 10^{14 }</ supmath> (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot <math>\exp(1 {, }59 x\times 10 <sup>^{40 })</ supmath> ) (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd. De [[wet van de iteratieve logaritme]]n beweert dat als μ wordt vervangen door een willekeurige rij van 1s en -1s en ▼
[[Thomas Joannes Stieltjes Jr|Stieltjes]] beweerde in 1885 een zwakker resultaat te
== Weerlegging van het vermoeden van Mertens ==
[[Thomas Joannes Stieltjes Jr|Stieltjes]] beweerde in 1885 een zwakker resultaat te hebben bewezen, namelijk dat <math>{M(n)\over /\sqrt{n}}</math> [[Begrensde functie|begrensd]] was, maar hij publiceerde dit bewijs niet. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd.
Als de Möbiusfunctie <math>\mu</math> wordt vervangen door een willekeurige rij van 1'en en -1'en, volgt uit de [[wet van de iteratieve logaritme]]n dat de orde van groei van de partiële sommen van de eerste <math>n</math> termen (met kans 1) ongeveer gelijk is aan <math>\sqrt n \log \log n</math>, hetgeen suggereert dat de orde van de toename van <math>M(n)/ \sqrt n</math> ergens rond <math>\log \log n</math> zou kunnen liggen.
▲In 1985 weerlegden [[Andrew Odlyzko]] en [[Herman te Riele]] het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het eerste [[tegenvoorbeeld]] kleiner moet zijn dan exp(3,21 x 10<sup>64</sup>) (Pintz 1987), maar groter dan 10<sup>14</sup> (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot exp(1,59 x 10<sup>40</sup>) (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd. De [[wet van de iteratieve logaritme]]n beweert dat als μ wordt vervangen door een willekeurige rij van 1s en -1s en
dat de orde van groei van de partiële som van de eerste ''n'' termen is (met kans 1) over ''n''<sup>1/2</sup> log log ''n'', hetgeen suggereert dat de orde van de groei van ''M''(''n'')/''n''<sup>1/2</sup> ergens rond log log ''n'' zou kunnen liggen.
== Connectie met de Riemann-hypothese ==
| 