Groepswerking: verschil tussen versies

58 bytes toegevoegd ,  6 jaar geleden
Geen bewerkingssamenvatting
Stel ''V'' is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie, of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van [[symmetrie]] van een object op/in ''V'' (waarbij een "object in ''V''" niet verward moet worden met een element van ''V'') kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op ''V'', met voor elk punt als functiewaarde een [[tupel]] met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor ''X'' kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor ''G'' kunnen we de [[symmetriegroep]] van V nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als ''g'' een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door ''x'', het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door ''gx'', enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door ''x'' bestaat dan uit de elementen ''g'' van ''G'' waarvoor ''g''·''x'' = ''x''. Als ''x'' de [[indicatorfunctie]] is van een deelverzameling ''W'' van ''V'' dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van ''V'' en ''W''.
 
Als ''V'' de hele ruimte is kunnen we voor ''G'' nemen de [[euclidische groep]] ''E''(''n'') of alleen de isometrieën zonder spiegeling: ''SE''(''n''). In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen<ref>Het gaat om standen die binnen de betreffende ruimte bereikbaar zijn vanuit de beginstand, dus bijvoorbeeld niet het omdraaien via een hogerdimensionale ruimte.</ref> van een voorwerp ([[star lichaam]] in de ruime zin van het woord, ''n'' hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.
 
Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.
80.077

bewerkingen