Galoisgroep: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
In de [[galoistheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''galoisgroep''' de [[Groep (wiskunde)|groep]], die volgens een gegeven definitie bij een [[polynoom]] hoort. De [[
Volgens de [[hoofdstelling van de algebra]] liggen alle [[nulpunt]]en van dit polynoom in het [[complexe vlak]], zij vormen in het complexe vlak een [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|lichaam]] (Nederlands) of [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)|veld]] (Belgisch) van [[Algebraïsch getal|algebraïsche getallen]]. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de [[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)|uitbreidingen]]. De galoistheorie bestudeert welke [[Permutatiegroep|groepen, die de nulpunten van een polynoom ''f'' permuteren]], ''f'' [[Invariant (wiskunde)|invariant]] laten.
Regel 8:
Het uitgangspunt van de definitie van de galoisgroep is een polynoom ''f''. Stel dat ''E'' de [[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)|uitbreiding]] van ''Q'', van de [[Rationaal getal|rationale getallen]], is, waarin alle nulpunten van ''f'' liggen. De galoisgroep ''G(f)'' van ''f'' bestaat uit de [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle [[automorfisme]]n van ''E'', zodanig dat ieder [[Beeld (wiskunde)|beeld]] van een nulpunt van ''f'' weer een nulpunt van ''f'' is. In de galoisgroep van een polynoom komen dus de permuaties van de nulpunten van die polynoom voor, die een automorfisme zijn.
Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten van het polynoom zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten van de polynoom uit te drukken, is er wel.<ref>{{en}} {{Cite
Bij het berekenen van de galoisgroep ''G(f)'' van een polynoom ''f'' kan van de [[groepentheorie]] worden gebruikgemaakt.
Regel 15:
Om de nulpunten van een polynoom uit te drukken zijn in de wiskunde, behalve de rationale getallen en de vier [[Basisoperatie (wiskunde)|basisbewerkingen]], alleen [[Wortel (wiskunde)|wortels]] toegestaan. Om er abstract mee te rekenen mogen ze wel, net als iedere andere [[variabele]], bijvoorbeeld worden aangeduid met een letter, maar daarmee zijn ze nog niet in de coëfficiënten van het polynoom uitgedrukt. Om ze te noteren worden voor de nulpunten van een polynoom meestal de [[Grieks alfabet|griekse letters]] genomen.
{{References}}
{{DEFAULTSORT:Galois-groep}}
| |||