Lineaire transformatie: verschil tussen versies

In de [[lineaire algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''lineaire transformatie''' een [[lineaire afbeelding]] van een [[vectorruimte]] naar zichzelf.

 

Een lineaire transformatie <math>T:V\to V</math> van een [[Dimensie (lineaire algebra)|''n''-dimensionale]] [[vectorruimte]] <math>V</math> wordt ondubbelzinnig vastgelegd door de beelden <math>T(b_1), \ldots ,T(b_n)</math> van een geordende [[Basis (lineaire algebra)|basis]] <math> \{b_1, \ldots ,b_n\} \sub V</math>. Een willekeurige vector <math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i \in V</math> wordt dan afgebeeld op:

 

:<math>y'=\sum_{j=1}^n \xi'_j T(b'_j) =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j\right) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(b_i\right) =y</math>.

 

Door de keuze van een geordende basis <math> \{b_1, \ldots ,b_n\} \sub V</math> wordt een vector <math>x \in V</math> bepaald door de coördinaten <math> \xi_1, \ldots ,\xi_n</math> ten opzichte van deze basis:

:<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i </math>.

waarin <math>\tau_{ij} =t_{ji}</math>. De matrix <math>\!\;\Tau</math> die de transformatie <math>T</math> representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

 

De lineaire transformatie <math>T</math> van de vectorruimte <math>\R^2</math> beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is <math>T</math> geheel vastgelegd. De matrix van <math>T</math> is dan

:<math>

Dus is <math>T(-1,5)=22(1,0)+18(0,1)=(22,18)</math>.

 

Een lineaire transformatie kan [[bijectie]]f zijn. In dat geval wordt het domein afgebeeld op zichzelf en is de transformatie [[Inverse|inverteerbaar]]. De determinant van de matrix van de transformatie is dan ongelijk 0 en de matrix heeft volle [[rang (wiskunde)|rang]], wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

 

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of [[kern (algebra)|kern]] van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

 

Lineaire transformaties van de <math>\R^2</math>, kunnen beschreven worden door een 2x2-matrix <math>A</math>. Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van <math>A</math>, als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

 

Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.

:<math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>.

 

Een [[Rotatie (wiskunde)|rotatie]] van 90° tegen de klok in:

:<math>A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>

:<math>A=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}</math>.

 

[[Spiegeling (meetkunde)|Spiegeling]] om de ''x''-as:

:<math>A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}</math>.

 

Een [[homothetie]] met factor 2:

:<math>A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}</math>.

:<math>A=\begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & s\end{bmatrix}</math>.

 

Horizontale [[afschuiving (sterkteleer)|afschuiving]]:

:<math>A=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>.

 

Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):

:<math>A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}</math>.

 

[[Projectie (wiskunde)|Projectie]] op de ''y''-as:

:<math>A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>