Viervector: verschil tussen versies

9 bytes verwijderd ,  7 jaar geleden
k
Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix
k (Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix)
 
==Inleiding==
Het basisidee van [[speciale relativiteitstheorie]] is het op gelijke voet behandelen van ruimte en tijd. Dit volgt uit het inzicht dat ruimte en tijd geen afzonderlijke grootheden zijn, maar tezamen één geheel vormen, [[ruimte-tijd]] genaamd. Dit inzicht is een noodzakelijk gevolg van de experimentele waarneming dat de lichtsnelheid dezelfde waarde heeft, voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen (''inertiaalstelsels'').
 
In klassieke mechanica treedt een soortgelijk fenomeen op. Het is duidelijk dat men een systeem kan beschrijven in verschillende coördinatenstelsels. Er is dus geen absolute betekenis te geven aan wat men de x-, y- en z-coördinaat noemt. Daarom maakt men in de mechanica vaak gebruik van [[Vector (wiskunde)|vectoren]]: veel grootheden, zoals snelheid, positie, kracht,... hebben immers op een natuurlijke wijze drie componenten. Afzonderlijk hebben de componenten geen fysische betekenis, aangezien een andere keuze van assenstelsel de waardes van de componenten van de vector zal vermengen. Als geheel is een vector dan weer wel zinvol, en is dus eigenlijk mede gedefinieerd door hoe de componenten veranderen onder een verandering van assenstelsel.
 
Het begrip viervector veralgemeent dit begrip, ruwweg door aan vectoren ook een tijds-component toe te voegen. Het eenvoudigste voorbeeld is de aanduiding van een positie. In klassieke mechanica gebeurt dit door drie coördinaten <math>(x,y,z)</math> op te geven. Dat beschrijft een bepaalde positie in de ruimte, zonder een tijdstip te specifiëren. Een ''positie-viervector'' (ruimtetijdpositie) ziet er als volgt uit:
:<math>(ct, x, y, z)</math>,
en bepaalt dus een positie <math>(x,y,z)</math> op een welbepaald tijdstip <math>t</math>. Anders uitgedrukt: deze vector beschrijft de positie van een [[gebeurtenis (relativiteit)|gebeurtenis]] in de ruimtetijd. In de uitdrukking hierboven is <math>c</math> de [[lichtsnelheid]], die als factor garandeert dat de verschillende componenten van de viervector alle dezelfde eenheid lengte hebben. Het is voor een bondige notatie gebruikelijk een vector <math>(x,y,z)</math> te schrijven als <math>x^i</math>, met <math>i=1,2,3</math>. Analoog noteert men een positie-viervector als
:<math> \vec{X}^\mu = \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right)</math>
 
met <math>\mu = 0, 1, 2, 3.</math>
\vec{U} \cdot \vec{V}
= \eta_{\mu \nu} U^\mu V^\nu
= \left(U^0, U^1, U^2, U^3 \right)
\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)
\begin{bmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{bmatrix}
= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3
</math>
 
\vec{U} \cdot \vec{U}
= \eta_{\mu \nu} U^{\mu} U^{\nu}
= (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2
</math>
 
 
===Lorentztransformaties===
{{Zie hoofdartikel|Lorentztransformatie}}
In speciale relativiteitstheorie worden de [[galileitransformatie]]s vervangen door [[lorentztransformatie]]s. Deze beschrijven hoe coördinaten veranderen als men van [[inertiaalstelsel]] verandert, dat wil zeggen overstapt naar een stelsel dat met een constante snelheid ten opzichte van het eerste beweegt. Als deze snelheid in de (positieve of negatieve) ''x''-richting is, dan geldt:
:<math>\begin{cases}
ct' &= \gamma \left( ct - \frac vc x\right) \\
x' &= \gamma \left( x - v t \right)= \gamma \left( x - \frac vc ct \right)\\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases},</math>
 
met <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}}</math> de [[lorentzfactor]].
Men kan dit ook in [[Matrix (wiskunde)|matrix]]vorm schrijven:
:<math>
\begin{bmatrix}
\gamma & - \gamma \boldsymbol{\beta}^\mathrm{T} \\
-\gamma\boldsymbol{\beta} & \mathbf{I} + (\gamma-1) \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^\mathrm{T}/\beta^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t \\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\,,
 
==Einsteinnotatie==
In [[einsteinnotatie]] met onderscheid tussen ''covariante'' viervectoren (zoals de vierpositie) en ''contravariante'' viervectoren, zoals hierboven al toegepast, geldt voor een met contravariante viervector <math>U^\mu</math> geassocieerde ''covariante'' vector <math>U_\nu</math>:
:<math> U_\nu = \eta_{\mu\nu} U^\mu</math>
en omgekeerd:
Er geldt <math>\eta_{\mu \nu} \mathbf P^{\mu} \mathbf P^{\nu} = \mathbf P^{\mu} \mathbf P_{\nu} = m_0^2 c^2 = E^2/c^2 - || \mathbf{p}||^2</math> ([[energie]]-impulsrelatie).
 
===Vierkracht===
De vierkracht is de viervector corresponderend met [[kracht]]. Het is de afgeleide naar de eigentijd van het viermomentum:
 
 
:<math>\vec{F} = m\vec{A} = \left(\gamma {d\gamma \over dt} mc,\gamma\vec f\right)</math>
met
:<math>\vec f=m\left({d\gamma \over dt} \vec v+\gamma{d \vec{v} \over dt} \right)</math>.
 
==Zie ook==
* [[Vierstroom]]
* [[Vierpotentiaal]] (de viervector geassocieerd aan de elektrische en magnetische potentiaal)
* [[Viergradiënt]]
* [[Speciale relativiteitstheorie]]
* [[Tensoren in de algemene relativiteitstheorie]]
 
== Referenties ==
*R. d'Inverno, ''Introducing Einstein's Relativity'', Oxford University Press, ISBN 0198596863
 
{{appendixAppendix}}
 
[[Categorie:Relativiteit]]
[[Categorie:Vector]]