Versie van 20 apr 2015 07:16 bewerken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.205 bewerkingen samenstellingssymbool met TeX, gaf op sommige apparatuur rechthoekje als zijnde een niet weer te geven symbool) ← Oudere bewerking		Versie van 20 apr 2015 07:24 bewerken ongedaan maken Patrick (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 86.205 bewerkingen ordesymbool Nieuwere bewerking →
Regel 256: ====Preorde==== Een '''[[preorde]]''' is een homogene tweeplaatsige relatie die ''reflexief'' en ''transitief'' is. Preordes worden vaak aangeduid met het symbool ≲<math>\preceq</math>. Van iedere homogene tweeplaatsige relatie ''R'' is de reflexief-transitieve afsluiting ''R'' * een preorde. Een '''[[Preorde\|totale preorde]]''' is een homogene tweeplaatsige relatie die ''transitief'' en ''totaal'' is. Merk op dat totaliteit reflexiviteit impliceert en iedere totale preorde dus een specifiek geval van een preorde is. Totale preordes worden vaak aangeduid met het symbool ≲<math>\preceq</math>. Een partiële orde is een antisymmetrische preorde en een equivalentierelatie is een symmetrische preorde. Een totale orde is een antisymmetrische totale preorde. Voor iedere preorde ≲<math>\preceq</math> op ''X'' kan de equivalentierelatie ~ op ''X'' gedefinieerd worden waarvoor geldt dat voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'': :''x'' ~ ''y'' [[desda]] ''x'' ≲<math>\preceq</math> ''y'' en ''y'' ≲<math>\preceq</math> ''x''. Als vervolgens een relatie ≤ op ''X'' ∕ ~ afgeleid wordt door te stellen dat voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'' geldt dat :[''x''] ≤ [''y''] desda ''x'' ≲<math>\preceq</math> ''y'', dan is ≤ een partiële orde op ''X'' ∕ ~. Hieruit kan vervolgens een strikte partiële orde < op ''X'' afgeleid worden, zodanig dat voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'' geldt dat :''x'' < ''y'' desda [''x''] ≤ [''y''] en [''x''] ≠ [''y''], ofwel (de equivalente uitspraak) dat :''x'' < ''y'' desda ''x'' ≲<math>\preceq</math> ''y'' en niet ''x'' ~ ''y''. Onder deze constructies geldt voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'' dat :''x'' ≲<math>\preceq</math> ''y'' desda ''x'' < ''y'' of ''x'' ~ ''y''. Dit verklaart de notatie ≲<math>\preceq</math> en geeft inzicht in de wijze waarop preordes zich verhouden tot (strikte) partiële ordes. Totale preordes verhouden zich tot (strikte) totale ordes zoals preordes zich tot (strikte) partiële ordes verhouden. De term “strikte preorde” is niet gedefinieerd. Dit zou immers zoiets als een irreflexieve en transitieve homogene tweeplaatsige relatie moeten zijn, maar irreflexiviteit en transitiviteit impliceren samen asymmetrie, wat een strikte partiële orde op zou leveren. Hetzelfde geldt voor de term “strikte totale preorde”. Irreflexiviteit en transitiviteit impliceren samen met de voorwaarde

Tweeplaatsige relatie: verschil tussen versies