|
De '''Einstein-tensor''' is een [[tensor]] die de [[Kromming (meetkunde)|kromming]] van een ruimte uitdrukt. Het is een centraal object in de [[Einsteineinstein-vergelijkingenvergelijking]] van de [[algemene relativiteitstheorie]].
Meer precies is de Einsteineinstein-tensor een object dat uitgedrukt kan worden in termen van tweede afgeleides van de [[metrische tensor|metriek]] van een gegeven ruimte. In [[wiskunde|wiskundige]] context kan dat elke ruimte zijn, in [[natuurkunde]] heeft de ruimte de betekenis van de vierdimensionale [[ruimtetijd]], en is de Einsteineinstein-tensor dan ook de kromming van de gegeven ruimtetijd.
== Definitie ==
In wiskundige context wordt de Einsteineinstein-tensor <math>\mathbf{G}</math> gedefinieerd als een [[tensor]] van rang 2 op een [[Riemannseriemannse variëteit]] als:
::<math>\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,</math>
met <math>\mathbf{R}</math> de [[Ricciricci-tensor]], <math>\mathbf{g}</math> de [[metrische tensor]] en <math>R</math> de [[scalaire kromming]]. In de taal van [[tensor]]en schrijft men dit als
::<math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.</math>
== Expliciete uitdrukking ==
De Ricciricci-tensor en scalaire kromming kunnen eenduidig bepaald worden gegeven de [[metrische tensor]], dus de Einsteineinstein-tensor kan in principe expliciet uitgedrukt worden in termen van de metriek. Omdat deze uitdrukking er niet eenvoudig uitziet, verkiest men meestal de bovenstaande (impliciete) definitie van de Einstein-tensor. Deze kan berekend worden aan de hand van de uitdrukking voor de Ricci-tensor in termen van de [[Christoffelsymbolen|Christoffelchristoffel-connectie]]:
::<math>
</math>
hierin is <math>\delta^\alpha_\beta</math> de [[Kroneckerdelta|Kroneckerkronecker-tensor]] en zijn de Christoffelchristoffel-symbolen <math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}</math> gedefinieerd als
::<math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon}).</math>.
== Voorkomen in algemene relativiteitstheorie ==
De Einsteineinstein-tensor komt voor in het linkerlid van de [[Einsteineinstein-vergelijkingen]]:
::<math>G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.</math>
::<math>G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}.</math>
Daarnaast kunnen ook de [[Bianchibianchi-identiteiten]] eenvoudig uitgedrukt worden met behulp van de Einsteineinstein-tensor:
::<math> \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0.</math>
De eenvoud van deze vergelijkingen, uitgedrukt met de Einsteineinstein-tensor toont de diepe geometrische en fysische betekenis van het object aan.
==Zie ook==
| 