31-toonsverdeling: verschil tussen versies

Huygens is waarschijnlijk op het aantal 31 gekomen door een [[kettingbreuk]] van de middentoons[[kwint]] te formuleren en van de convergenten van de kettingbreuk de meeste precieze te kiezen, die tevens nog praktisch uitvoerbaar was. Daar de middentoonskwint een verhouding heeft van <math>\mu = \fractfrac{1}{4} \cdot \,^{2}\!\log(5)</math> en de noemer van de reeks convergenten <math>\frac{p_n}{q_n}</math> kleiner moet zijn dan <math>q_{n+1}</math>, ontwikkelt de kettingbreuk zich als volgt:

:<math>\mu = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}}}}}</math>

De convergentenreeks die hieruit ontstaat, verkregen door steeds een breuk van de kettingbreuk onder de deelstreep toe te voegen, gaat dan als volgt:
:<math>\fractfrac{1}{2}, \fractfrac{3}{5}, \fractfrac{4}{7},\ \fractfrac{7}{12},\ \fractfrac{11}{19},\ \fractfrac{18}{31},\ \fractfrac{101}{174},\ \fractfrac{119}{205},\ ... </math>

Daar een octaaf een frequentieverhouding heeft van 1 : 2 (de C heeft een twee keer zo lage frequentie als de C'), hebben twee opeenvolgende halve tonen in deze toonverdeling een frequentieverhouding van <math>1 : \sqrt[31]{2}</math>. We zien dan dat het Huygens formidabel is gelukt om de middentoonskwint te benaderen. In [[cent (muziek)|cents]] heeft de middentoonskwint een waarde van
:<math>1200 \cdot \fractfrac{1}{4} \cdot \,^{2}\!\log(5) = 696,5784...\ldots</math>&nbsp;&nbsp; cent

en de kwint van de 31-toonsverdeling een waarde van :
:<math>1200 \cdot\,^{2}\!\log{ \left(\sqrt[31]{2}\right)^{18}} = 696,7742 ..\ldots</math>&nbsp;&nbsp; cent.