Kansdichtheid: verschil tussen versies

16 bytes verwijderd ,  15 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
Omdat de ''cumulatieve [[verdelingsfunctie]]'' <math>F_X</math> van een continue stochastische variabele absoluut continu is en dus (bijna overal) differentieerbaar, kunnen we deze vastleggen door z'n [[afgeleide]] <math>f_X</math>, die de '''kansdichtheid''' van ''X'' genoemd wordt.
 
:<math>f_{X}f_X(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}xdx} F_{X}F_X(x)</math>.
 
De '''kansdichtheid''' geeft voor een continue stochastische variabele een goed beeld hoe de totale 'kansmassa' (in totaal 1) verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele.
 
 
Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen mbv. de kansdichtheid moet er altijd een integraal genomenberekend worden. BijvoorbeeldZo is de kans dat X een uitkomst kleiner dan 0.5 heeft:
 
:<math> Pr (X < 0.5) = \int_{0}^{0.5} f(x){\rm d}xdx =\int_{0}^{0.5} 1.{ \rmcdot d}xdx = 0.5</math>
 
De kans op een bepaalde uitkomst, bijvoorbeeld 0.37, is per definitie gelijk aan nul, wat compatibel is met:
 
:<math>Pr(X = 0.37)= \int_{0.37}^{0.37} f(x){\rm d}xdx = 0</math>
 
 
Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid <math>f_{X}(x)\!</math> van een continue stochastische variabele ''X'' is:
 
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x){\rm d}xdx = 1</math>.
 
Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansdichtheid de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan <math>Pr(X < +\infty) = 1</math>.
3.498

bewerkingen