Schrödingervergelijking: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Madyno (overleg | bijdragen)
Geen bewerkingssamenvatting
Madyno (overleg | bijdragen)
Regel 25:
 
== Betekenis van de schrödingervergelijking ==
De basis voor de vergelijking is de [[wet van behoud van energie]], die stelt dat de totale energie ''<math>E''</math> de som is van de [[kinetische energie]] ''<math>T''</math> en de [[potentiële energie]] ''<math>V''</math>:
:<math>E = T + V</math>
 
Deze wet geldt zowel voor deeltjes als golven in de klassieke mechanica. VermenigvuldigdVermenigvuldiging met ψ<math>\psi</math> krijgen welevert
:<math>E\psi = (T + V)\psi=T\psi+V\psi</math>
 
Voor een golf bestond al een uitdrukking die het mogelijk maakt de kinetische energie uit te drukken met behulp van tweede afgeleiden van een functie die de golf beschrijft:
:<math>T = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2</math>
 
waarbijwaarin <math>\nabla^2</math> de [[Laplaceoperator]] voorstelt. In de golfmechanica spelen dergelijke operatoren een bijzonder grote rol. Zij stellen ons namelijk in staat uit een golffunctie, die we ons als een soort trillingspatroon kunnen voorstellen, bepaalde eigenschappen te berekenen,; in dit geval de kinetische energie.
 
De operator <math>T</math> werd oorspronkelijk alleen voorop golven toegepast. Het tweeledigheidsprincipe, dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn, is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door de operator <math>T</math> in de algemene uitdrukking voor Ede energie in te vullen.
 
Als de totale energie <math>E</math> van het systeem constant is, dat wil zeggen dat het 'trillingspatroon' ψ<math>\psi</math> niet met de tijd verandert, luidt de schrödingervergelijking na invulling van de bovenstaande operator <math>T</math>:
:<math>E\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
 
Het is ook mogelijk veranderingen van de golffunctie met de tijd te beschrijven. In zijn tijdsafhankelijke vorm wordt de vergelijking:
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
 
OpnieuwDe isenergie wordt hier sprake van hetdus inbrengenvoorgesteld vandoor eende operator:
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}= E</math>
 
De schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking, en datwat wil zeggen dat er slechts bepaalde golffuncties ψ<math>\psi</math> zijn die eraan voldoen. Welke functies dat zijn wordt in belangrijke mate bepaald door hoede vorm van de potentiële energie V eruit ziet als functie van de coördinaten ''x'', ''y,'' en ''z'' vanin de ruimte.
 
<math>V(x,y,z)</math> wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern, maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies ''ψ''<math>\psi</math> er aan de schrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit middelsdoor middel van operatoren allerlei eigenschappen berekend worden.
 
De golffuncties, die resulteren uit deze berekeningen, geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar leveren alleen algemene informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats ([[orbitaal|orbitalen]]) in het atoom te treffen.