Waterstofatoom: verschil tussen versies

168 bytes toegevoegd ,  5 jaar geleden
:<math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) + l(l+1)Y(\theta,\varphi) = 0</math>.
 
Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als <math>l(l+1)</math>. De tweede vergelijking heeft dan voor <math>l=0,1,2,\dots</math> [[sferische harmoniek|bolfuncties]] als oplossing. De analyse van de eerste vergelijking neemt vele pagina's in beslag in de leerboeken, zie bijv. <ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, 3rd ed. hoofdstuk V en X.</ref>. Alleen voor discrete waarden van <math>E</math> zijn er fysisch relevante oplossingen, verwant aan [[Laguerre polynomen]].
 
De eerste vergelijking kan omgevormd worden tot een differentiaalvergelijking die bekend is uit de theorie van [[Laguerre polynomen]] door het invoeren van een een nieuwe constante voor <math>E</math> en een nieuwe radiële variabele. Deze substituties gaan het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in [[atomaire eenheden]]<ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, par.36</ref>: <math>E=-1/2n^2</math> en <math>r=\rho n/2</math>.
Het resultaat is:
 
Het resultaat in gewone eenheden is:
:<math> \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r)\; Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math>.
:<math> R_{nl}(r) = \sqrt {{\left(\frac{2}{n a_0}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\; e^{- \rho / 2}\; \rho^{l}\; L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)</math>
3.590

bewerkingen