Waterstofatoom: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 21:
De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kant alleen van <math>r</math> afhangt en de rechter kant alleen van de hoekcoordinaten <math>\vartheta, \varphi</math>. Linker en rechter kant zijn dus constant.
De Schrödingervergelijking splitst in twee, voor <math>R</math> en voor <math>Y</math>:
:<math> \frac{\hbar^2}{2m_e} \left[{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right] + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}R(r) + E R(r) = 0 </math>
en
:<math>\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\varphi)\right] + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}Y(\theta,\varphi) + l(l+1)Y(\theta,\varphi) = 0</math>.
Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als <math>l(l+1)</math>. De tweede vergelijking heeft dan voor gehele <math>l</math> [[sferische harmoniek|bolfuncties]] als oplossing. De analyse van de eerste vergelijking neemt vele pagina's in beslag in de leerboeken, zie bijv. <ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, 3rd ed. hoofdstuk V en X.</ref>. Alleen voor discrete waarden van <math>E</math> zijn er fysisch relevante oplossingen, verwant aan [[Laguerre polynomen]].
Het resultaat is:
| |||