Waterstofatoom: verschil tussen versies

494 bytes toegevoegd ,  5 jaar geleden
 
De [[Laplaciaan]] wordt uitgeschreven in bolcoordinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden:
:<math> \Psi_{nlm}Psi(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}R(r)\; Y_{lm}Y(\vartheta, \varphi ) </math>.
 
DeDit oplossing,levert een som van termen die alleen van <math>r</math> of alleen van de hoekcoordinaten <math>\vartheta, \varphi</math> afhangen of constant zijn. Alle termen moeten dus constant zijn. Voor bepaalde waarden van de constanten hebben de aparte differentiaalvergelijkingen, een gewone voor <math>R</math> en een partiële voor <math>Y</math>, fysisch relevante oplossingen. De hele analyse neemt vele pagina's in beslag neemt in de handboekenleerboeken, zie bijv. <ref>{{aut|L.D.Landau, E M Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, 3rd ed. hoofdstuk V en X.</ref> is:.
 
Het resultaat is:
:<math> \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r)\; Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math>.
:<math> R_{nl}(r) = \sqrt {{\left(\frac{2}{n a_0}\right)}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\; e^{- \rho / 2}\; \rho^{l}\; L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)</math>
:<math> Y_{lm}(\vartheta, \varphi ) </math> zijn [[sferische harmoniek|sferisch harmonischen]]en
:<math>a_0 = \hbar / m_e c\alpha </math> de [[Bohrstraal]] van het H-atoom, <math>\alpha</math> de [[fijnstructuurconstante]], <math>\rho = 2r / n a_0 </math> en
:<math> L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) </math> '''gegeneraliseerde''' [[Laguerre-polynomen|gegeneraliseerde Laguerre-polynomen]].
 
De [[Elektronenschil|kwantumgetallen]] kunnen de volgende waarden hebben:
3.590

bewerkingen