Hermite-polynoom: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
+eerste kopje, aanpassing niveaus kopjes |
||
Regel 3:
H<sub>1</sub>(''x'') = ''x'' <br />
H<sub>2</sub>(''x'') = ''x''<sup>2</sup> - 1 <br />
H<sub>3</sub>(''x'') = ''x''<sup>3</sup> - 3''x'' <br />
H<sub>4</sub>(''x'') = ''x''<sup>4</sup> - 6''x''<sup>2</sup> + 3 <br />
H<sub>5</sub>(''x'') = ''x''<sup>5</sup> - 10''x''<sup>3</sup> + 15''x'']]
In de [[wiskunde]] zijn de '''hermite-polynomen''', genoemd naar [[Charles Hermite]], de [[polynoom|polynomen]] die de oplossing vormen van de [[differentiaalvergelijking]] van Hermite
== Differentiaalvergelijking ==
De differentiaalvergelijking van Hermite is:
:<math>H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,\!</math>
Regel 20 ⟶ 23:
De hermite-polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de [[Laguerre-polynoom|laguerre-polynomen]].
=== Recursie ===
De hermite-polynomen staan in de volgende [[recursie]]ve relatie:
:<math>H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x),\,\!</math>
Zij voldoen ook aan:
:<math>H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,\!</math>
=== Orthogonaliteit ===
De hermite-polynomen vormen een [[orthogonaal]] stelsel met betrekking tot het [[inproduct]]:
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx</math>,
dus met [[gewichtsfunctie]]:
:<math>e^{-x^2/2}\,,</math>
op een factor na de [[kansdichtheid]] van de [[standaardnormale verdeling]].
Er geldt:
Regel 41 ⟶ 44:
waarin δ<sub>''nm''</sub> de [[kronecker-delta]] is, dus gelijk aan 1 als ''n'' = ''m'' en anders 0.
== Alternatieve vorm ==
De alternatieve vorm van de [[differentiaalvergelijking]] van Hermite is:
:<math>H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0.\,\!</math>
De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}</math>
Deze tweede definitie is niet geheel [[equivalent (taalkundig)|equivalent]] met de eerste.
De eerste 6 hermite-polynomen zijn:
Regel 58 ⟶ 61:
:<math>H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,</math>
=== Recursie ===
De hermite-polynomen staan in de volgende [[recursie]]ve relatie:
:<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,</math>
Zij voldoen ook aan:
:<math>H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,</math>
=== Orthogonaliteit ===
De hermite-polynomen vormen een [[orthogonaal]] stelsel met betrekking tot het [[inproduct]]:
:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2}\,dx</math>,
dus met [[gewichtsfunctie]]:
:<math>e^{-x^2}\,.</math>
Er geldt:
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{nm}</math>
waarin δ<sub>''nm''</sub> de [[kronecker-delta]] is, dus gelijk aan 1 als ''n'' = ''m'' en anders 0.
Regel 79 ⟶ 82:
== Zie ook ==
* [[Chebyshev-polynoom]]
* [[Lagrange-polynoom]]
* [[Laguerre-polynoom]]
* [[Legendre-polynoom]]
| |||