Short-time Fourier transform: verschil tussen versies

k
Verwijder Unicode-teken via Wikipedia:Wikiproject/Check Wikipedia., removed: ‎ (2) met AWB
(taal)
k (Verwijder Unicode-teken via Wikipedia:Wikiproject/Check Wikipedia., removed: ‎ (2) met AWB)
=== De continue STFT ===
 
In het continue geval wordt het te transformeren signaal lokaal vermenigvuldigd met een [[vensterfunctie]]. Dit is een functie die enkel op een eindig interval verschillend is van nul, en dus een kort stuk uit het signaal knipt. Dit verklaart de benaming ''short-time Fourier transform''. De vensterfuncties hebben, op het rechthoekig venster na, ook de eigenschap een klokvorm te hebben, waardoor ze aan de uiteinden naar nul gaan. Op die manier worden discontinuïteiten aan de twee uiteinden vermeden, hetgeen belangrijke voordelen heeft. Meer hierover is te vinden in het artikel over [[vensterfunctie|vensterfuncties]]s. De vensterfunctie wordt dan steeds over een zekere afstand opgeschoven, en telkens wordt een [[fouriertransformatie]] berekend. Indien de gebruikte [[vensterfunctie]] aan de uiteinden (quasi) naar nul gaat is het nodig de opeenvolgende posities van de [[vensterfunctie|vensterfuncties]]s te laten overlappen, doorgaans met vijftig procent. Anders zouden belangrijke details die toevallig aan een uiteinde van de [[vensterfunctie]] liggen niet, of niet voldoende, in rekening gebracht worden.
De opeenvolgende fouriertransformaties bevatten dus elk op zich de frequentie-inhoud van een stuk van het signaal, steeds gedurende een volgende tijdspanne. De informatie wordt zowel in de tijd als in de frequentie geordend, hetgeen een vereiste is indien een signaal niet stationair is, dus indien de kenmerken van het signaal tijdens de meting veranderen in functie van de tijd. Dit is bijvoorbeeld het geval bij spraaksignalen.
 
:<math> \mathbf{STFT} \left \{ x(t) \right \} \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-j \omega t} \, \mathrm{d}t </math>
 
Hierbij is ''w''(''t'') de [[vensterfunctie]] en ''x''(''t'') het te transformeren signaal. In feite is ''X''(τ,ω) niets anders dan de klassieke [[fouriertransformatie]] van het product van het signaal ''x''(''t'') en de [[vensterfunctie]] ''w''(''t''-τ). Het is dus een complexe functie van een tijdsvariabele τ en van de frequentie ω. De absolute waarde geeft de amplitude van de frequentie ω op het tijdstip τ en de complexe hoek de fase.
 
=== De discrete STFT ===
Dit is het discrete (digitale) equivalent van de bovenstaande continue (analoge) STFT. Zowel het te transformeren signaal x[n] als de [[vensterfunctie]] w[n] zijn nu discreet, beiden met dezelfde [[bemonsteringsfrequentie]]:
 
:<math>f_s = 1/T_s \! </math>.
 
Hierbij is <math>T_s</math> de tijdstap tussen twee opeenvolgende samples van het discrete signaal. Indien de lengte van de vensterfunctie N samples bevat, is de totale tijdspanne van het venster en dus ook van de fouriertransformatie dus gelijk aan:
==De koppeling van de tijdresolutie en de frequentieresolutie==
 
[[Bestand:STFT_WVL_compareSTFT WVL compare.jpg‎jpg|thumb|right|200px|Zowel bij de STFT als de wavelettransformatie is het product van de tijdresolutie en de frequentieresolutie constant. Bij de STFT zijn beide resoluties zelf ook constant. Bij de wavelettransformatie wordt een goede frequentieresolutie ingeruild tegen een goede tijdresolutie op hoge frequenties.]]
 
Deze koppeling is van groot belang en leidt tot een nadeel van de STFT. In bovenstaand voorbeeld was de resolutie in frequentie 4 Hz. Dit betekent concreet dat de STFT informatie geeft betreffende de frequenties 0 Hz, 4 Hz, 8 Hz, 12 Hz enz. en dit om de 0,25 seconde, de tijdresolutie. Stel nu dat men de frequentieresolutie wil verbeteren tot 2 Hz. De frequentieresolutie van een fouriertransformatie is ''één gedeeld door de tijdsduur van het getransformeerde signaal''. Een frequentieresolutie van 2 Hz vereist in bovenstaand voorbeeld dat men de lengte van de vensterfunctie verdubbelt tot 4000 samples. Het gevolg hiervan is dus wel dat de tijdsresolutie met een factor twee slechter wordt, en groeit tot 0,5 seconde.
== Voorbeeld ==
 
[[Bestand:STFT_voorbeeldSTFT voorbeeld.jpg‎jpg|thumb|right|200px|STFT van het signaal beschreven in deze paragraaf]]
 
Het voorbeeld bevat een signaal van 8192 samples, bemonsterd aan 2048 Hz, dus 2048 samples per seconde. Het signaal heeft bijgevolg een totale tijdsduur van 4 seconden en is een samenstelling van vijf componenten:
 
Hoewel de resolutie kleiner is dan het verschil tussen de twee vaste sinussen zijn ze toch niet van elkaar te onderscheiden wegens de [[vensterfunctie|leakage]] van het gebruikte [[vensterfunctie|Hanningvenster]]. De sweepsinus verloopt trapsgewijs door het steeds opschuivende venster. De tijdelijke sinus van 700 Hz is duidelijk zichtbaar. Bij de start en het einde van deze sinus treden telkens frequenties op verschillend van 700 Hz. Dit komt doordat in het eerste venster dat de sinus bevat, de sinus niet over de volledige lengte van het venster loopt. Het begin van de sinus valt immers niet samen met de rand van een positie van het venster Hetzelfde gebeurt bij het laatste venster: ook dat bevat de sinus van 700 Hz slechts in een deel van het venster. De fouriertransformatie moet dus in deze gevallen niet alleen de sinus reproduceren, maar ook rekening houden met het feit dat de sinus in een deel van het venster afwezig is. De [[Diracpuls]] op 0,59 seconde is ook zichtbaar in twee vensters, aangezien de opeenvolgende vensters elkaar met 50% overlappen. De exacte positie is dus moeilijk te kennen, want dit zou een kort tijdvenster vereisen waardoor de frequentieresolutie evenredig zou toenemen. De [[wavelettransformatie]] kan dit probleem wel oplossen omdat ze op lage frequentie een goede frequentieresolutie biedt, en op hoge frequentie (waar de [[Diracpuls]] nog steeds zichtbaar is) een goede tijdresolutie.
 
 
[[Categorie:Signaalanalyse]]
40.854

bewerkingen