Besselfunctie: verschil tussen versies

Geen verandering in de grootte ,  6 jaar geleden
Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.
k (Een afleiding van een persoonsnaam krijgt een kleine letter.)
(Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.)
'''Besselfuncties''' zijn oplossingen van de besselse [[differentiaalvergelijking]]. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom [[Friedrich Wilhelm Bessel]], die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Er zijn twee soorten Besselfunctiesbesselfuncties: die van de eerste soort en van de n-de orde, Jn(x) genoteerd en die van de tweede soort en van de n-de orde, Yn(x) genoteerd.
 
De Besselvergelijkingbesselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] en van [[Helmholtz]], wanneer daarbij [[cilindercoördinaten]] worden gebruikt. Daardoor zijn Besselfunctiesbesselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de [[wiskundige natuurkunde]], zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:
* [[elektromagnetisme|elektromagnetische golven]] in een cilindrische golfgeleider
* [[warmte]]geleiding in een cilindervormig voorwerp
* bepaling van grondwaterstanden bij onttrekkingen.
 
== Definitie van de Besselfunctiebesselfunctie ==
 
Besselfuncties zijn oplossingen van de Besselsebesselse [[differentiaalvergelijking]]:
 
:<math>x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0\;</math>
:<math>g(x,z)=e^{\frac{x}{2}(z-\frac{1}{z})}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_{n}(x)z^n</math>
 
== Eigenschappen van de Besselfunctiebesselfunctie ==
 
Besselfuncties voldoen aan de volgende eigenschappen:
:<math>J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x)\;</math>
 
Een berekening leert dat de Besselfunctiebesselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:
 
:<math>J_{0}(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}dt\;</math>
 
Als we <math>J_{0}(x)\;</math> plotten dan verkrijgen we het volgende resultaat:
[[Afbeelding:NoBessel.png|left|450px|Grafische weergave Besselfunctiebesselfunctie]]
 
<br clear="all" />
6.021

bewerkingen