8.234
bewerkingen
k
Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.
kGeen bewerkingssamenvatting |
k (Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.) |
||
|
{{Zijbalk kwantummechanica}}
De '''
:<math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>
:<math>p = \int \psi^*(x,t) (-i \hbar {\partial\over\partial x}) \psi(x,t) dx </math>
== Betekenis van de
De basis voor de vergelijking is de wet van behoud van energie, die stelt dat de totale energie ''E'' de som is van de kinetische energie ''T'' en de potentiële energie ''V'':
:<math>E = T + V</math>
De operator T werd oorspronkelijk alleen voor golven toegepast. Het tweeledigheidsprincipe dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door de operator T in de algemene uitdrukking voor E in te vullen.
Als de totale energie E van het systeem constant is, dat wil zeggen dat het 'trillingspatroon' ψ niet met de tijd verandert, luidt de
:<math>E\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}= E</math>
De
V(x,y,z) wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies ''ψ'' er aan de
De golffunctie die resulteren uit deze berekeningen geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar leveren alleen algemene informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats ([[orbitaal|orbitalen]]) in het atoom te treffen.
== Tijdsonafhankelijke
Als de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt, krijgt men door scheiding van variabelen:
:<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t) \!</math>
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(r,t) = i \hbar {\partial\over\partial t}\phi(r)\kappa(t)=i \hbar \phi(r){\partial\over\partial t}\kappa(t)</math>
:<math> H \psi(r,t)= H \phi(r)\kappa(t) = \kappa(t)H\phi(r) \!</math>
zodat uit de
:<math>i\hbar\frac {1}{\kappa(t)}{\partial\kappa(t)\over\partial t}=\frac{H\phi(r)}{\phi(r)}</math>
Linker- en rechterlid zijn dus constant, zodat:
:<math> \hat{H} \phi(r)= E \phi(r) \!</math>
Deze laatste vergelijking, met de operator ''H'' en constante ''E'' is de tijdsonafhankelijke
== Zie ook ==
| |||