Schrödingervergelijking: verschil tussen versies

Geen verandering in de grootte ,  7 jaar geleden
k
Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.
k
k (Samenstellingen met de naam van een uitvinder of ontdekker krijgen een kleine letter.)
{{Zijbalk kwantummechanica}}
De '''Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is in de [[kwantummechanica]] een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een kwantummechanisch systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zogenaamde [[golffunctie]] ''ψ'' en de mechanische eigenschappen door de [[Hamiltoniaan]] ''H'' van het systeem, een [[Schrödinger-operator|operator]] die de totale energie van het systeem voorstelt. Voor een systeem van een enkel deeltje luidt de Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking:
:<math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>
 
:<math>p = \int \psi^*(x,t) (-i \hbar {\partial\over\partial x}) \psi(x,t) dx </math>
 
== Betekenis van de Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking ==
De basis voor de vergelijking is de wet van behoud van energie, die stelt dat de totale energie ''E'' de som is van de kinetische energie ''T'' en de potentiële energie ''V'':
:<math>E = T + V</math>
De operator T werd oorspronkelijk alleen voor golven toegepast. Het tweeledigheidsprincipe dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door de operator T in de algemene uitdrukking voor E in te vullen.
 
Als de totale energie E van het systeem constant is, dat wil zeggen dat het 'trillingspatroon' ψ niet met de tijd verandert, luidt de Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking na invulling van bovenstaande operator T:
:<math>E\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
 
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}= E</math>
 
De Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking en dat wil zeggen dat er slechts bepaalde golffuncties ψ zijn die eraan voldoen. Welke functies dat zijn wordt in belangrijke mate bepaald door hoe de potentiële energie V eruit ziet als functie van de coördinaten x,y,z van de ruimte.
 
V(x,y,z) wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies ''ψ'' er aan de Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit middels operatoren allerlei eigenschappen berekend worden.
 
De golffunctie die resulteren uit deze berekeningen geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar leveren alleen algemene informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats ([[orbitaal|orbitalen]]) in het atoom te treffen.
 
== Tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking voor één deeltje ==
Als de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt, krijgt men door scheiding van variabelen:
:<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t) \!</math>
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(r,t) = i \hbar {\partial\over\partial t}\phi(r)\kappa(t)=i \hbar \phi(r){\partial\over\partial t}\kappa(t)</math>
:<math> H \psi(r,t)= H \phi(r)\kappa(t) = \kappa(t)H\phi(r) \!</math>
zodat uit de Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking volgt:
:<math>i\hbar\frac {1}{\kappa(t)}{\partial\kappa(t)\over\partial t}=\frac{H\phi(r)}{\phi(r)}</math>
Linker- en rechterlid zijn dus constant, zodat:
:<math> \hat{H} \phi(r)= E \phi(r) \!</math>
 
Deze laatste vergelijking, met de operator ''H'' en constante ''E'' is de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijkingschrödingervergelijking. De vergelijking is een eigenwaardevergelijking voor de operator ''H'' met [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] ''E'' en [[eigenfunctie]] ''φ''.
 
== Zie ook ==
6.144

bewerkingen