Paradox van Bertrand (kansrekening): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
redactie |
|||
Regel 1:
De '''paradox van Bertrand''' is een
:''Beschouw een [[gelijkzijdige driehoek]] en de [[omgeschreven cirkel]]. Als men in deze [[cirkel]] een willekeurige [[koorde]] tekent, wat is dan de kans dat deze koorde langer is dan de zijde van de driehoek?''
Dit probleem is oorspronkelijk opgeworpen door [[Joseph Bertrand]] in zijn werk ''Calcul des probabilités'' (1889). Bertrand gaf drie oplossingsmethoden, alle drie schijnbaar correct, die echter met elkaar strijdige uitkomsten gaven.▼
▲
# De "willekeurige eindpunten"-methode: Kies een punt op de cirkel en draai de cirkel zo dat een hoekpunt van de driehoek samenvalt met dit punt. Kies weer willekeurig een ander punt op de cirkel en teken de koorde tussen de twee punten. Alleen wanneer het tweede punt ligt op de boog tussen de twee andere hoekpunten van de driehoek, is de koorde langer dan de zijde van de driehoek. De lengte van deze boog is een derde van de gehele omtrek. De gevraagde kans is daarom 1/3.
Regel 7 ⟶ 9:
# De "willekeurige midden"-methode: Kies een punt in het binnenste van de cirkel en neem de (unieke) koorde die dit punt als middelpunt heeft. Beschouw nu de [[ingeschreven cirkel]] van de gegeven gelijkzijdige driehoek. De koorde die we hebben gevonden is alleen langer dan de zijde van de driehoek, als het midden binnen deze ingeschreven cirkel ligt. De gevraagde kans is dus 1/4.
<center>
<gallery>
Afbeelding:bertrand1-figure.svg|Methode 1
Afbeelding:bertrand2-figure.svg|Methode 2
Afbeelding:bertrand3-figure.svg|Methode 3
</gallery>
(rood: langer dan de zijde van de driehoek, blauw: korter)
</center>
==
De oorspronkelijke vraag
[[Categorie:Statistische paradox|Bertrand]]
| |||