Versie van 11 apr 2014 23:16 bewerken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen →‎Ondubbelzinnig vastleggen van een lineaire transformatie ← Oudere bewerking		Versie van 12 apr 2014 00:16 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 24: == Matrix van een lineaire transformatie== Door de keuze van een geordende basis <math> \{b_1, \ldots ,b_n\} \sub V</math> wordt een vector <math>x \in V</math> bepaald door de coördinaten <math> \xi_1, \ldots ,\xi_n</math> ten opzichte van deze basis: ~~We hernemen de lineaire transformatie t zodat <math> t(\vec{e_i}) = \vec{u_i} </math>. <br>~~ :<math>x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i </math>. Ten opzichte van de basis in de vectorruimte V, heeft elke vector een uniek stel [[coördinaten]] <math> (x_1, \ldots , x_n) </math> zodat <math> \vec{v} = \sum_1^n x_i \vec{e_i} </math>. Verder correspondeert met elke lineaire transformatie van V een unieke [[matrix (wiskunde)\|matrix]] A waarvan de kolommen de coördinaten zijn van de vectoren <math> \vec{u_i} </math>. Het is de matrix van de lineaire transformatie ten opzichte van de gekozen basis. ~~Met~~De ~~behulp~~lineaire ~~die matrix A kunnen de coördinaten van het beeld~~transformatie <math>~~\vec{v'} = t(\vec{v})~~T</math> ~~berekend~~wordt ~~worden~~bepaald door ~~middel~~de beelden van de ~~formule~~basisvectoren: :<math>T(b_i)=\sum_{j=1}^n t_{ij} b_j</math>. De transformatie <math>T</math> wordt dus vastgelegd door de getallen (de matrix) <math>(t_{ij})</math>. Het beeld <math>T(x)</math> van <math>x</math> onder <math>T</math> heeft de coördinaten <math> \eta_1, \ldots ,\eta_n</math>: :<math>T(x)=\sum_{i=1}^n \eta_i b_i </math>. Er geldt dus: :<math>\sum_{j=1}^n \eta_j b_j =T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n t_{ij}b_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}b_j</math>, zodat: :<math>\eta_j=\sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}</math>. Dit komt neer op de matrixvermenigvuldiging van de kolomvector <math>\xi=[\xi_1, \ldots ,\xi_n]^\top</math> van de de coördinaten van <math>x</math> met de matrix <math>\Tau =(t_{ij})^\top</math>, met als resultaat de kolomvector <math>\eta=[\eta_1, \ldots ,\eta_n]^\top</math> van de coördinaten van <math>T(x)</math>: :<math>\eta = \Tau \xi</math>. Uitgeschreven ziet dat er zo uit: :<math> \begin{bmatrix} ~~x'_~~\eta_{1} \\ ~~x'_~~\eta_{2} \\ \vdots \\ ~~x'_~~\eta_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_\tau_{11} & a_\tau_{12} & \cdots & a_\tau_{1n} \\ a_\tau_{21} & a_\tau_{22} & \cdots & a_\tau_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_\tau_{n1} & a_\tau_{m2} & \cdots & a_\tau_{nn} \end{bmatrix} ~~\cdot~~ \begin{bmatrix} x_\xi_{1} \\ x_\xi_{2} \\ \vdots \\ x_\xi_{n} \end{bmatrix} </math>, ~~Het linkerlid levert ons de coördinaten van het beeld <math>\vec{v'} </math>.~~ waarin <math>\tau_{ij} =t_{ji}</math>. De matrix <math>\Tau</math> die de transformatie <math>T</math> representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren. Voorbeeld:▼ ▲===Voorbeeld:=== ~~We vertrekken van de vectorruimte <math> \R^2 </math> bestaande uit alle koppels reële getallen.~~ We vertrekken van de vectorruimte <math>\R^2</math> bestaande uit alle koppels reële getallen. Als basis kiezen we <math> ((1,0),(0,1))</math>. De lineaire transformatie t<math>T</math> wordt vastgelegd door de keuze van de beelden van de basisvectoren. We kiezen ((3,2),(5,4)). De matrix van t<math>T</math> is dan : <math> \begin{bmatrix} Regel 62 ⟶ 78: 2 & 4 \end{bmatrix} </math>. We berekenen bijvoorbeeld het beeld van de vector (-1,5). : <math> T(-1,5)= \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} ~~\cdot~~ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} = </math>▼ \begin{bmatrix} ~~Na berekening komt er t(-1,5) = (22,18)~~ 22 \\ 18 \end{bmatrix} ▲</math>. ==Lineaire transformaties van het vlak== In de vlak kiezen we een [[orthonormale basis]] <math>\vec{e_1},\vec{e_2} </math>. De matrix van een lineaire transformatie is dan een 2x2 matrix waarvan de kolommen de coördinaten zijn van de beelden van de basisvectoren. Enkele voorbeelden:

Lineaire transformatie: verschil tussen versies