|
==Algemeen geval in drie dimensies==
Een [[kromme]] in drie dimensies wordt [[ruimtekromme]] genoemd, heel algemeen voorgesteld door eende vectorfunctieparametervoorstelling vanmet '''R'''de naardrie '''R³'''coördinaatfuncties <math>x(t),y(t)</math> meten als<math>z(t)</math>. algemene parametervoorstelling:
Als de ruimtekromme [[Differentieerbaarheid|differentieerbaar]] is in het punt <math>(x_0,y_0,z_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0)</math>, kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:
:<math>\overrightarrow P(t)=(x'(tt_0),y'(tt_0),z'(tt_0))</math>
De gradiënt hiervanraaklijn wordt dan: beschreven door de functies
:<math>\overrightarrow P'X(ts)=(x_0+x'(t),y'(t),z'(t)t_0)\cdot s</math>
:<math> \,Y( ts)=y_0+y'(t_0)\cdot ts</math> ▼
:<math> \,Z( ts)=z_0+z'(t_0)\cdot ts</math> ▼De raaklijn aan de kromme in het punt <math>\ P_0=P(t_0)</math> wordt dan beschreven door:
:<math>\overrightarrow P(t)= \overrightarrow P_0+\overrightarrow P'(t_0)\cdot t</math>
Of expliciet, met <math>x_0=x(t_0), y_0=y(t_0), z_0=z(t_0)</math>:
:<math>\,X(t)=x_0+x'(t_0)\cdot t</math>
▲:<math>\,Y(t)=y_0+y'(t_0)\cdot t</math>
▲:<math>\,Z(t)=z_0+z'(t_0)\cdot t</math>
Toepassing van deze algemene formule op de kromme <math>P(t)=(x,y(x))</math> levert:
:<math>\,x(t)=t</math>,
en dus
:<math>\,X(t)=x_0+t</math>,
:<math>\,Y(t)=y_0+y'(x_0)\cdot t=y_0+y'(x_0)\cdot (X(t)-x_0)</math>
Zo vinden we dus als speciaal geval van de algemene formule de bekende formule terug voor de raaklijn aan de grafiek van een functie.
[[Categorie:Differentiaalmeetkunde]]
| 