[[Bestand:Equilateral Triangle Lattice.svg| thumb|right|250px{{largethumb}}|Een [[Driehoekdriehoekig (meetkunde)|driehoek]]ig [[Gelijkzijdige driehoek|gelijkzijdig ]] rooster in het [[Euclidische vlak ]].]] ▼{{Zie artikel|Zie ook de artikelen [[E8-rooster]], [[Leech-rooster]] en [[Unimodulair rooster]].}}
▲[[Bestand:Equilateral Triangle Lattice.svg|thumb|right|250px|Een [[Driehoek (meetkunde)|driehoek]]ig [[Gelijkzijdige driehoek|gelijkzijdig]] rooster in het [[Euclidische vlak]].]]
Een '''rooster''' in de [[wiskunde]] is een [[meetkunde|meetkundig]] hulpmiddel om continue entiteiten af te beelden op discrete roosterpunten. Een [[entiteit]] kan hier zijn een [[lijn (meetkunde)|lijn]], een tweedimensionaal oppervlak of figuur, een driedimensionaal oppervlak of een driedimensionale ruimte of [[lichaam (geometrie)|lichaam]]. Theoretisch zou het ook mogelijk zijn roosters voor entiteiten met hogere [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] te verzinnen. Een rooster bestaat uit een verzameling roosterpunten die in de entiteit worden geplaatst. Vervolgens wordt van ieder punt in de entiteit bepaald tot welk roosterpunt deze behoort. ▼
In <math>\mathbb{R}^n</math> is eenEen '''rooster''' bijvoorbeeldin eende [[Discrete wiskunde|discrete]] is een [[ondergroepMeetkunde|meetkundig]] hulpmiddel om continue entiteiten af te beelden op discrete roosterpunten. Roosters laten zich het beste aan de hand van voorbeelden beschrijven. Een bekend voorbeeld is het rooster gevormd door de punten met gehele coördinaten. Als ondergroep is dit rooster isomorf met <math>\mathbb{Z}^n</math>. De elementen van een rooster worden vaak aangeduid als de ''roosterpunten''. De figuur hiernaast geeft een driehoekig rooster.
In de oorspronkelijke betekenis liggen de punten in een rooster op gelijke afstanden van elkaar zitten. Voor praktische doeleinden kan ervoor worden gekozen een rooster te kiezen, waarin de punten niet noodzakelijk op dezelfde afstanden liggen. Roosters hebben bijvoorbeeld vooral praktisch nut bij het gebruik van [[computer]]s, zoals in de [[numerieke wiskunde]] en bij [[computergraphics]].
▲Een '''rooster''' in de [[wiskunde]] is een [[meetkunde|meetkundig]] hulpmiddel om continue entiteiten af te beelden op discrete roosterpunten. Een [[entiteit]] kan hier zijn een [[ lijnLijn (meetkunde)|lijn]], een tweedimensionaal oppervlak of figuur, een driedimensionaal oppervlak of een driedimensionale ruimte of [[ lichaamLichaam ( geometriemeetkunde)|lichaam]] zijn. Theoretisch zou het ook mogelijk zijn roosters voor entiteiten met hogere [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] te verzinnen. Een rooster bestaat uit een verzameling roosterpunten die in de entiteit worden geplaatst. Vervolgens wordt van ieder punt in de entiteit bepaald tot welk roosterpunt deze behoort.
== Doel van een rooster ==
Een rooster verdeelt eenhetgene oppervlak/ruimte/object/...waar het rooster overheen is gelegd in cellen. Dit maakt het mogelijk om een coördinatenstelsel op te zetten, waarna ieder punt door middel van een coördinaat gelokaliseerd kan worden. bepaald. Bijvoorbeeld, de lengte- en breedtegraden op het aardoppervlak zijn een rooster dat om de aarde[[Aarde (planeet)|Aarde]] heen gelegd is gelegd.
Indien de afmetingen van hetgene waar het rooster overheen gelegdeindig is eindig zijn, ontstaat een eindig aantal cellen. Dit maakt het mogelijk per cel gegevens over dat object te verzamelen. Bijvoorbeeld, over een landkaart wordt een rooster gelegd. Vervolgens meten we voor iedere cel de hoogte boven [[Normaal Amsterdams Peil|NAP]]. Vervolgens vormt het rooster een [[hoogtemap]], die we zouden kunnen gebruiken om een [[visualisatie]] van het terrein te maken.
In een roostercel kunnen meerdere meetpunten voorkomen, het gemiddelde, hoogste of laagste meetpunt kun je beschouwen als significant voor die cel worden opgeslagen.
Voordelen van het gebruik van roosters zijn:
* Reductie van de hoeveelheid data die verzameld/opgeslagen moet worden verzameld en opgeslagen
* Filtering van gemeten data
* Makkelijker zoeken en vergelijken
== Uniforme en niet-uniforme roosters==
[[Bestand:uniform rooster.png|frame|Uniform verdeelde roosterpunten met daarnaast de Dirichlettesselatie en Delaunay-triangulatie ervan]]
Roosters worden onderscheiden in twee categorieën:
* Uniforme roosters. Dit- zijnIn deze roosters waarbijliggen de roosterpunten uniform verdeeld zijn over de entiteit, dat wil zeggen dat ze op gelijke afstanden van elkaar zitten.
* Niet-uniforme roosters. - Dit zijn roosters waar op sommige plaatsen de roosterpunten dichter op elkaar zittenliggen dan op andere plaatsen.
Uniforme roosters hebben als voordeel dat het bepalen van de roosterpunten een triviale zaak is. Bijvoorbeeld bij een vierkantvormig rooster, kunnen de roosterpunten op gelijke afstanden van elkaar gezet worden. Deze roosters zijn dan ook vanwege hun eenvoud erg prettig in gebruik.
De eerste stap in het genereren van een rooster is het genereren van de roosterpunten. Dit is voor uniforme roosters triviaal. Voor niet-uniforme roosters zijn een aantal technieken in gebruik, waaronder:
* '''Willekeurige roosterpunten''' - Hierbij wordt het in te roosteren object in een aantal dichtheidszones verdeeld. Via een kanstrekking worden dan roosterpunten gegenereerd zodat in zones met een hogere dichtheid relatief meer punten terechtkomen dan in zones met een lage dichtheid.
* '''[[3D-computergraphics#Raycasting''', Raytracing, Stochastische raytracing|Raycasting]] - Hier bij worden over het in te roosteren object horizontale roosterlijnen gelegd. Vervolgens worden op de horizontale roosterlijnen roosterpunten gegenereerd, waarbij een roosterpunt niet te dicht bij de objectrand en eventuele andere, al getekende punten mag liggen. De punten worden binnen deze beperking op minimale afstand van elkaar geplaatst.
== Bepaling van roostercellen ==
Nadat de roosterpunten bepaald zijn rest nog het bepalen vanmoeten de roostercellen. Ooknog hierworden zijn eenbepaald. aantalDit techniekenkan voorop inverschillende gebruikmanieren.
=== DirichlettesselatieVoronoi-diagram ===
Een veelgebruiktveelgebruikte principemethode is dehet [[DirichlettesselatieVoronoi-diagram]]. Bij de DirichlettesselatieVoronoi-diagram is ieder roosterpunt het midden van een cel. Alle punten die dichterbij dat roosterpunt liggen dan bij een ander roosterpunt liggen in de cel. Hierbij ontstaan polygoonvormige cellen.
Deze techniek staat ook bekend als een [[Voronoi-diagram]]Dirichlettesselatie.
=== Delaunay-triangulatie ===
Indien een Dirichlettesselatie wordt gemaakt kan daaruit een [[Delaunay-triangulatie]] bepaald worden. Als alle roosterpunten waarvan de bijbehorende polygonen een punt gemeenschappelijk hebben met elkaar verbonden worden dan ontstaan driehoeken. Dit wordt het Delaunay-triangulatie genoemd. De Delaunay-triangulatie wordt gezien als de beste triangulatietechniek omdat hij de som van de kleinste hoeken over alle driehoeken maximaliseert, driehoeken met scherpe hoeken worden zo veel mogelijk vermeden.
== Zie ook ==
* [[Geografisch informatiesysteem]] ▼* [[Computersimulatie]]
* [[E8-rooster]]
▲* [[Geografisch informatiesysteem]]
* [[Leech-rooster]]
* [[Unimodulair rooster]]
* [[Uurhok]] en [[Kilometerhok]]
== Bronnen ==
* W.F. Bronsvoort, A. Noort, F.H. Post. - Geometrisch modelleren - [[Technische Universiteit Delft]], augustus 1999.
{{DEFAULTSORT:Rooster (wiskunde)}}
| 