Wikipedia

Kegel (ruimtelijke figuur): verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Robbot (overleg | bijdragen)
bots
423.831 bewerkingen
k Robotgeholpen doorverwijzing: Inhoud - Koppeling(en) gewijzigd naar inhoud (volume)
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
[[Bestand:Kegel.png|thumb|Een kegel]]
Een '''kegel''' of '''conus''' is een ruimtelijke figuur.
 
Een '''kegel''' of '''conus''' is een ruimtelijke figuur. De figuur heeft een plat en een gekromd vlak. De bodem is een [[cirkel]]. Het andere vlak heeft een [[Punt (wiskunde)|punt]] op de [[Lijn (meetkunde)|lijn]] door het [[middelpunt]] van de cirkel, [[Loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op de cirkel en verbindt dat punt op de kortst mogelijke manier met de rand van de cirkel.
De [[oppervlakte]] ''A'' van een kegel, waarbij ''r'' de straal van de basis is en ''h'' de hoogte, is: <math>A = \pi r^2 + \pi r l </math>, waarbij l de lengte van het schuine oppervlak is, van top tot cirkelrand (<math> l = \sqrt{r^2+h^2} </math>). De eerste term (<math> \pi r^2 </math>) is precies het oppervlak van de platte bodem, en de andere term (<math> \pi r l </math>) is het oppervlak van de puntvorm.
 
== Kegelsneden ==
Voor de [[inhoud (volume)|inhoud]] ''V'' geldt:▼
{{Zie hoofdartikel|Kegelsnede}}
 
In de [[meetkunde]] wordt met een kegel ook wel de onbegrensde ruimtelijke figuur bedoeld, die vanuit de bovenstaande figuur kan worden gemaakt door het bodemvlak weg te nemen, en die boven het bovenste puntje omgekeerd wordt herhaald. Van deze dubbele oneindige kegel zijn snijvlakken met een plat vlak bekend als de [[kegelsnede|kegelsneden]]n: [[cirkel]], [[ellipsEllips (meetkunde)|ellips]], [[paraboolParabool (wiskunde)|parabool]] en [[hyperboolHyperbool (meetkunde)|hyperbool]]. Strikt genomen zijn geïsoleerde punten en tweetallen elkaar snijdende rechten ook kegelsneden, maar deze worden [[Ontaard (meetkunde)|ontaard]] genoemd om ze van deze vier te onderscheiden.▼
:<math>V = {\pi r^2 h \over 3}</math>, anders gezegd <math>{1 \over 3}\cdot\mathrm{oppervlakte\ grondvlak}\cdot\mathrm{hoogte}</math>.
 
== KegelsnedenOppervlak en inhoud ==
De [[oppervlakte]] ''A'' van een kegel is: <math>A = \pi r^2 + \pi r l </math>.
 
▲Voor de [[inhoudInhoud (volume)|inhoud]] ''V'' geldt: <math>V = {\pi r^2 h \over 3}</math>.
▲In de [[meetkunde]] wordt met een kegel ook wel de onbegrensde ruimtelijke figuur bedoeld die vanuit de bovenstaande figuur kan worden gemaakt door het bodemvlak weg te nemen, en die boven het bovenste puntje omgekeerd wordt herhaald. Van deze dubbele oneindige kegel zijn snijvlakken met een plat vlak bekend als de [[kegelsnede|kegelsneden]]: [[cirkel]], [[ellips (meetkunde)|ellips]], [[parabool (wiskunde)|parabool]] en [[hyperbool (meetkunde)|hyperbool]].
 
''r'' de straal van de basis <br>
Strikt genomen zijn geïsoleerde punten en tweetallen elkaar snijdende rechten ook kegelsneden; deze worden ''ontaard'' genoemd om ze te onderscheiden van cirkel, ellips, parabool en hyperbool, die in de [[Analytische_meetkunde|analytische meetkunde]] een vergelijking F(x, y) = 0 hebben waarin de kwadratische [[Veelterm|veelterm]] F(x, y) ''niet'' in twee lineaire factoren ontbonden kan worden.
''h'' de hoogte van de kegel <br>
''l'' de lengte van het schuine oppervlak, van top tot cirkelrand <math> l = \sqrt{r^2+h^2} </math> <br>
<math>\pi r^2</math> de oppervlak van de platte bodem. <br>
<math> \pi r l </math> het oppervlak van de puntvorm.
 
== Minimum oppervlak van een kegel ==
[[Bestand:KegelOppervlak.jpg|right|450px|Minimum oppervlakte van een kegel met een volume van 1000 cm<sup>3</sup>|500px]]
Van alle denkbare kegels met gelijke inhoud ''V,'' is een kegel met het kleinste oppervlak ''A'' aanwezig,de alskegel voldaanwaarvoor wordtgeldt aan de randvoorwaardedat <math> h = 2 r_ b \sqrt{2}</math> , waarbij de straal ''r<sub>b</sub>'' nietvan willekeurigde isplatte maarbodem begrensdis. DitDe vraagtkegels, omdie enige[[Congruentie toelichting(meetkunde)|congruent]] inaan deze kegel zijn, zijn de vormkegels, vanwaarvoor het [[isoperimetrisch quotiënt]] het grootst is: 0,5 of een rekenvoorbeeldhalf. AlsIn uitgegaande wordtfiguur vanzijn uitgezet welke straal ''r'' en oppervlak ''A'' overeenkomen met een kegel met een inhoud van 1000 cm<sup>3</sup> dan volgt hieruit, dat:.
 
Dit vraagt om enige toelichting in de vorm van een rekenvoorbeeld. Als uitgegaan wordt van een kegel met een inhoud van 1000 cm<sup>3</sup> dan volgt hieruit, dat:
: <math>V = 1000 = {\pi r^2 h \over 3}</math>,
waaruit volgt:
: <math>{3000\over \pi} = {r^2 h} = {3000\mathrm{constantover \pi} </math>
vast is.
Als voor r een begrensde reeks getallen wordt gekozen, dan is hieruit dus h en het oppervlak A te berekenen. Het blijkt, dat het kleinste oppervlak:
Hiermee is de kegel te berekenen met de kleinste oppervlak ''A''. Het blijkt, dat het kleinste oppervlak:
: <math>A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2}\!) </math>,
ligt bij ''r<sub>b</sub>'' = 6,9632 cm, zoals ook de bijbehorende grafiek laat zien. Stralen groter of kleiner dan r<sub>b</sub>deze waarde leiden tot grotere oppervlakken. Uit de minimumwaarde voor ''r<sub>b</sub>'' valt ''h'' af te leiden volgens:
: <math>h = {3000 \over \pi r^2} = 19,695 \mathrm{cm} = 2 r_b \sqrt{2} \times 6,9632 cm</math>
 
De randvoorwaarde <math> h = 2R2r \sqrt{2}</math> geldt voor iedere R''r'' > 0. Immers,▼
:<math> h = {3V \over \pi Rr^2} </math> (1) en dus <math> A = {\pi Rr^2} + {1 \over Rr} \sqrt{{\pi}^2 Rr^6 + 9V^2} </math> ▼
Deze functie heeft een minimum voor <math> {\mathrm{d} \over \mathrm{d}Rr} A = 0 </math> en dat geldt bij▼
:<math> Rr^3 = {3V \over 2\pi \sqrt{2}} </math> → <math> 3V = 2 \pi Rr^3 \sqrt{2} </math> ▼
InvullenBoven ininvullen (1) levertgeeft de randvoorwaarde.▼
 
 
 
▲De randvoorwaarde <math> h = 2R \sqrt{2}</math> geldt voor iedere R > 0. Immers,
▲:<math> h = {3V \over \pi R^2} </math> (1) en dus <math> A = {\pi R^2} + {1 \over R} \sqrt{{\pi}^2 R^6 + 9V^2} </math>
▲Deze functie heeft een minimum voor <math> {\mathrm{d} \over \mathrm{d}R} A = 0 </math> en dat geldt bij
▲:<math> R^3 = {3V \over 2\pi \sqrt{2}} </math> → <math> 3V = 2 \pi R^3 \sqrt{2} </math>
▲Invullen in (1) levert de randvoorwaarde.
 
== Zie ook ==
* [[Isoperimetrisch quotiënt]]
{{Commonscat|Cones}}
 
==Externe link==
*{{en}} [http://www.matifutbol.com/en/balls.html ellipsoïde volume van een afgeknotte kegel]
 
[[Categorie:Ruimtelijke figuur]]
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Kegel_(ruimtelijke_figuur)"