|
==Definitie==
[[Bestand:Cross product vector.svg|thumb|200px|Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>'''. De vector <math>\vec{'''n}</math>''' staat loodrecht op <math>\vec{'''a}</math>'' en <math>\vec{'''b}</math>'' en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van <math>\vec{'''a}</math>''' naar <math>\vec{'''b}</math>''' gedraaid wordt.]]
Het '''kruisproduct''' '''<math>\vec{a}</math>'''×<math>\vec{'''b}</math>''' van de vectoren '''<math>\vec{a}</math>''' en '''<math>\vec{b}</math>''' in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels:
# '''<math>\vec{a}</math>'''×<math>\vec{'''b}</math>''' staat [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op '''<math>\vec{a}</math>''' en '''<math>\vec{b}</math>''' (''richting'' van '''<math>\vec{a}</math>'''×'''<math>\vec{b}</math>''' )
# '''<math>\vec{a}</math>''', '''<math>\vec{b}</math>''' en '''<math>\vec{a}</math>'''×'''<math>\vec{b}</math>''' vormen een [[Cartesisch_assenstelsel#Ori.C3.ABntatie|rechtshandig assenstelsel]] (''[[zin (vector)|zin]]'' van '''a'''×'''b''' );
# |'''<math>\vec{a}</math>'''×'''<math>\vec{b}</math>'''|=|'''<math>\vec{a}</math>'''| |'''<math>\vec{b}</math>'''| sin(θ) (''[[absolute waarde|grootte]]'' van '''<math>\vec{a}</math>'''×'''<math>\vec{b}</math>'''), waarin θ de hoek tussen '''<math>\vec{a}</math>a''' en '''<math>\vec{b}</math>''' is.
De regels 1 en 2 houden in dat de richting (met zin) van het kruisproduct bepaald wordt door de vector <math>\vec{'''a}</math>''' naar de vector <math>\vec{'''b}</math>''' te draaien alsof men een [[kurkentrekker]] hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaald. Men noemt dit de [[kurkentrekkerregel]]. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.
Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>''' als zijden.
Het kruisproduct van <math>\vecmathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)\,</math> en <math>\vecmathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)\,</math> kan uitgedrukt worden in de coördinaten van '''<math>\vec{a}</math>''' en '''<math>\vec{b}</math>''':
:<math>\vecmathbf{a} \times \vecmathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\,</math>.
Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande [[determinant]], waarin <math>\vecmathbf{e}_x</math>, <math>\vecmathbf{e}_y</math> en <math>\vecmathbf{e}_z</math> de [[eenheidsvector]]en langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen.
:<math>\begin{array}{rccl}
\vecmathbf{a} \times \vecmathbf{b} &=& (a_x,a_y,a_z) \times (b_x,b_y,b_z)&\\
&=& \begin{vmatrix}
\vecmathbf{e }_x& \vecmathbf{e}_y & \vecmathbf{e}_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix} &= (a_y b_z-b_y a_z)\vecmathbf{e}_x+(-a_x b_z + b_x a_z)\vecmathbf{e}_y+(a_x b_y-b_x a_y)\vecmathbf{e}_z\\\\
&=& \begin{pmatrix}
a_y b_z - a_z b_y\\
==Eigenschappen==
===Meetkundig===
*De grootte <math>\|\vecmathbf{a} \times \vecmathbf{b}\|</math> van de vector <math>\vec{'''a}</math>''' x <math>\vec{'''b}</math>''', is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>'''.
*Als <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>''' evenwijdig (parallel) zijn, is het kruisproduct <math>\vec{'''a}</math>''' x <math>\vec{'''b}</math>''' = <math>\vec{'''0}</math>''' . Omgekeerd volgt uit <math>\vec{'''a}</math>''' x <math>\vec{'''b}</math>''' = <math>\vec{'''0}</math>''', dat <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>''' evenwijdig zijn (het is wel mogelijk dat <math>\vec{'''a}</math>''' of <math>\vec{'''b}</math>''' de [[nulvector]] voorstellen).
*Zijn <math>\vec{'''a}</math>''' en <math>\vec{'''b}</math>''' een paar niet evenwijdige richtingsvectoren van een vlak <math>\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0</math>, dan is <math>\vec{'''n}</math>'''(u,v,w) een veelvoud van <math>\vec{'''a}</math>''' x <math>\vec{'''b}</math>'''.
===Algebraïsch===
* '''a'''×'''a''' = '''0''',
* <math>\vec{a}</math>×<math>\vec{a}</math> = <math>\vec{0}</math>,
* '''a'''×'''b''' = -'''b'''×'''a''',
* <math>\vec{a}</math>×<math>\vec{b}</math> = -<math>\vec{b}</math>×<math>\vec{a}</math>,
*De [[Jacobi-identiteit|identiteit van Jacobi]]: <math>\vec{'''a}</math>'''×(<math>\vec{'''b}</math>'''×<math>\vec{'''c}</math>''') + <math>\vec{'''b}</math>'''×(<math>\vec{'''c}</math>'''×<math>\vec{'''a}</math>''') + <math>\vec{'''c}</math>'''×(<math>\vec{'''a}</math>'''×<math>\vec{'''b}</math>''') = <math>\vec{'''0}</math>'''
*De volgende eigenschap (Lagrange) wordt vaak gebruikt:<math>\vec{'''a}</math>'''×(<math>\vec{'''b}</math>'''×<math>\vec{'''c}</math>''') = (<math>\vec{'''a}</math>'''·<math>\vec{'''c}</math>''')<math>\vec{'''b}</math>''' – (<math>\vec{'''a}</math>'''·<math>\vec{'''b}</math>''')<math>\vec{'''c}</math>'''. De identiteit van Jacobi kan er ook mee geverifieerd worden.
De tweede eigenschap volgt uit de toepassing van de eerste eigenschap op (<math>\vec{'''a}</math>''' + <math>\vec{'''b}</math>''')×(<math>\vec{'''a}</math>''' +<math>\vec{''' b}</math>'''). De eerste eigenschap volgt ook onmiddellijk uit de tweede op voorwaarde dat 1 + 1 ≠ 0, dat wil zeggen dat de [[karakteristiek]] van de ring <math>R</math> verschillend is van 2.
De eerste en de derde eigenschap samen betekenen dat, voor een willekeurig [[Lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] <math>K</math> met willekeurige karakteristiek, de ruimte <math>K^3</math> met het kruisproduct een [[Lie-algebra]] vormt.
Het uitwendig product van een derde vector met het uitwendig product van twee andere ligt in het vlak van deze laatste twee. Volgens de formule van [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] geldt:
'''a''' x ('''b''' x '''c''') = ('''a''' · '''c''') '''b''' - ('''a''' · '''b''') '''c'''
<math>\vec{a}</math> x (<math>\vec{b}</math> x <math>\vec{c}</math>) = (<math>\vec{a}</math> · <math>\vec{c}</math>) <math>\vec{b}</math> - (<math>\vec{a}</math> · <math>\vec{b}</math>) <math>\vec{c}</math>
Ook van Lagrange is de betrekking:
|<math>\vec{'''a}</math>''' x <math>\vec{'''b}</math>'''|<sup>2</sup> + |<math>\vec{'''a}</math>''' · <math>\vec{'''b}</math>'''|<sup>2</sup> = |<math>\vec{'''a}</math>'''|<sup>2</sup> |<math>\vec{'''b}</math>'''|<sup>2</sup>
die weinig meer inhoudt dan dat de som van de kwadraten van sinus en cosinus gelijk is aan één.
| 